Question

如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，BC的延長線與⊙O的切線AF交于點F．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2

10

，CE：EB=1：4，求CE，AF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先連接AE，設CE=x，由勾股定理可得方程：（2

10

）²=x²+（3x）²．然后由tan∠ABF=

AE

EB

=

AF

BA

，求得答案．

解答：（1）證明：如圖，連接BD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切線，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．

（2）解：如圖，連接AE．
∴∠AEB=90°．
設CE=x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．
在Rt△ACE中，AC²=CE²+AE²．
即（2

10

）²=x²+（3x）²．
∴x=2．
∴CE=2，
∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．
∵tan∠ABF=

AE

EB

=

AF

BA

．
∴

6

8

=

AF

10

．
∴AF=

15

2

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．