【題目】已知直線ay2x+4分別與x、y軸交于點A、C.將直線a豎直向下平移7個單位后得到直線b,直線b交直線ADyx+2于點E

1)若點Q為直線x軸上一動點,是否存在點Q,使△QDE的周長最小,若存在,求△QDE周長的最小值及點Q的坐標(biāo):

2)已知點M是第一象限直線a上的任意一點,過點M作直線cx軸,交直線b于點N,H為直線AD上任意一點,是否存在點M,使得△MNH成為等腰直角三角形?若存在,請直接寫出點H的坐標(biāo).

【答案】1)存在,Q,0),∴△DEQ的周長的最小值為5;(2)存在,滿足條件的點H的坐標(biāo)為(12,14)或(,).

【解析】

1)如圖1中,存在.首先確定點D,點E的坐標(biāo),作點D關(guān)于x軸的對稱點D,連接EDx軸于Q,連接DQ,此時△DEQ的周長最小.

2)如圖2中,存在.當(dāng)點NE5,7)重合時,作MHx軸交直線yx+2H,此時△MNH是等腰直角三角形,取EH的中點H,連接MH,此時△MNH也是等腰直角三角形.

解:(1)存在.

理由:∵直線y2x+4分別與x、y軸交于點A、C,

x0,得到y4,令y0,得到x=﹣2,

A(﹣20),C04),

∵直線y2x+4豎直向下平移7個單位后得到直線b

∴直線b的解析式為y2x3,

∵直線yx+2x軸于A,交y軸于D,

x0,得到y2,

D0,2),

,解得,

E57),

如圖1中,作點D關(guān)于x軸的對稱點D,連接EDx軸于Q,連接DQ,此時△DEQ的周長最。

D0,﹣2),E5,7),

∴直線DE的解析式為yx2,

Q,0),

,

∴△DEQ的周長的最小值=DE+DQ+EQDE+QD′+QEDE+ED5;

2)如圖2中,存在.

理由:當(dāng)點NE5,7)重合時,作MHx軸交直線yx+2H,此時△MNH是等腰直角三角形,取EH的中點H,連接MH,此時△MNH也是等腰直角三角形,

M5,14),MHx軸,

H12,14),

E5,7),EHHH

H,).

綜上所述,滿足條件的點H的坐標(biāo)為(1214)或(,).

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A.
B.
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