Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線y=x+4的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點(diǎn)（8，8），直線與x軸的交點(diǎn)為C，與y軸的交點(diǎn)為B．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)與這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E．設(shè)該線段PD的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求h與t之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）令x=0，代入，
∴y=4，
∴B（0，4）．
設(shè)y=ax²，把（8，8）代入得：8²•a=8，
∴，
∴，

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴．
∴，
∴；


（3）存在，
①當(dāng)∠PDB=∠BOC=90°時(shí)，
∴BD∥CE，
∴∠PBD=∠BCO．
∴△PDB∽△BOC，
∴．
令y=x=4=0，得x=-8，
∴C（-8，0），
∴CO=8．
∴．
化簡(jiǎn)得：t²=32．
解得：（不合題意，舍去）．
把代入，
得．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
②當(dāng)∠PBD=∠BOC=90°時(shí)，
∵PD∥BO，∴∠DPB=∠CBO．
∴△PBD∽△BOC．
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB，
∵∠DPB+∠PDB=90°，∠BDF+∠PDB=90°，
∴∠BDF=∠DPB=∠CBO．
∵∠BFD=∠COB，
△DFB∽△BOC，
∵，
∴，
∴．
化簡(jiǎn)得：t²+16t-32=0．
解得：（不合題意，舍去）
把代入，
得：，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)
以點(diǎn)P．D．B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，得出二次函數(shù)的一般解析式y(tǒng)=ax²，將（8，8）代入即可；
（2）直接表示出PE與DE的長(zhǎng)度從而得出PD的長(zhǎng)，即可得出解析式；
（3）分別為當(dāng)∠PDB=∠BOC=90°時(shí)與當(dāng)∠PDB=∠BOC=90°時(shí)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定等知識(shí)，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．