Question

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，連接AD．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交射線AD于點(diǎn)E，連接CE，求∠AEC的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的條件不變，求∠AEC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由已知易證△ACD∽△BED，再證出△CDE∽△ADB，由等腰直角三角形可得∠AEC=∠ABD=45°．
（2）由已知易證△ACD∽△BED，再證出△CDE∽△ADB，由角的關(guān)系可得出△AEF∽△CBF，再由等腰直角三角形可得∠AEC=∠ABD=45°．

解答：解：（1）如圖1所示，

∵∠C=90°，BE⊥AD，
∴∠ACD=∠DEB，且∠ADC=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴

DE

CD

=

BD

AD

，即

DE

BD

=

CD

AD

且∠CDE=∠ADB，
∴△CDE∽△ADB，
∴∠AEC=∠ABD，
∵等腰RT△ABC中，∠C=90°，
∴∠AEC=∠ABD=45°．
（2）當(dāng)點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

∵∠C=90°，BE⊥AD，
∴∠ACD=∠DEB，且∠ADC=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴

DE

CD

=

BD

AD

，即

DE

BD

=

CD

AD

且∠CDE=∠ADB，
∴△CDE∽△ADB，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴△AEF∽△CBF，
∴∠AEC=∠ABD，
∵等腰RT△ABC中，∠C=90°，
∴∠AEC=∠ABD=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活的運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)．