Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（5，4），點E在AB上，將△CBE沿CE翻折，點B恰好落在OA邊上的點F處，過點F作FG∥AB，交CE于點G，連接BG．
（1）求證：四邊形BEFG是菱形；
（2）求直線CE的表達式．

Answer 1

考點：菱形的判定,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,矩形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得：BE=EF，GF=BG，∠BGE=∠FGE，∠BEG=∠FEG，又由FG∥AB，易證得BG∥EF，可證得四邊形BEFG是平行四邊形，即可得四邊形BEFG是菱形；
（2）首先可求得OF的長，然后設AE=a，可得方程：a²+2²=（4-a）²，繼而求得點E的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得直線CE的表達式．

解答：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：BE=EF，GF=BG，∠BGE=∠FGE，∠BEG=∠FEG，
∵FG∥AB，
∴∠FGE=∠BEG，
∴∠BGE=∠FEG，
∴BG∥EF，
∴四邊形BEFG是平行四邊形，
∴?BEFG是菱形；

（2）解：∵矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（5，4），
∴OC=AB=4，BC=OA=5，
由折疊的性質(zhì)可得：CF=BC=5，
∴OF=

CF2-OC2

=3，
∴AF=OA-OF=2，
設AE=a，則EF=BE=AB-AE=4-a，
∴a²+2²=（4-a）²，
解得：a=1.5，
∴點E（5，1.5），
設直線CE的解析式為：y=kx+b，

b=4 5k+b=1.5

，
解得：

k=-0.5 b=4

，
∴直線CE的表達式為：y=-0.5x+4．

點評：此題考查了菱形的判定、折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．