Question

如圖，扇形OAB的圓心角為2α，點P為弧AB上一點，將此扇形翻折，當點O和點P重合時折痕恰巧過點B，且

AB

PB

=

6

5

，則α的正切值為

 

．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：計算題

分析：BE為折痕作OC⊥AB于C，交弧AB于D，設(shè)AB=6t，PB=5t，根據(jù)折疊的性質(zhì)得BP=BO=5t，由于OC⊥AB，根據(jù)垂徑定理得AC=BC=

1

2

AB=3t，弧AD=弧BD，則∠BOD=

1

2

∠AOB=α，在Rt△BOC中，先根據(jù)勾股定理計算出OC=4t，然后根據(jù)正切的定義求解．

解答：解：BE為折痕，作OC⊥AB于C，交弧AB于D，如圖，
∵

AB

PB

=

6

5

，
∴設(shè)AB=6t，PB=5t，
∵點O和點P重合時折痕恰巧過點B，
∴BP=BO=5t，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=

1

2

AB=3t，弧AD=弧BD，
∴∠BOD=

1

2

∠AOB=

1

2

•2α=α，
在Rt△BOC中，OC=

OB2-BC2

=4t，
∴tan∠BOC=

BC

OC

=

3t

4t

=

3

4

．
即tanα=

3

4

．
故答案為

3

4

．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了勾股定理、垂徑定理和正切的定義．