Question

【題目】已知拋物線(xiàn)與軸、軸分別相交于點(diǎn)A（－1，0）和B（0，3），其頂點(diǎn)為D。

（1）求這條拋物線(xiàn)的解析式；

（2）畫(huà)出此拋物線(xiàn)；

（3）若拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求△ODE的面積；

（4）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P使得△PAB的周長(zhǎng)最短。若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3 ；（2）如圖所示，見(jiàn)解析；（3）S△ODE=6；（4）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)（1，2）.

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求出b，c即可；

（2）描點(diǎn)、畫(huà)圖即可；

（3）令y=0求出x的值，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，把拋物線(xiàn)一般式化成頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；

（4）連接BE交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=1于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，即△PAB的周長(zhǎng)最短，求出直線(xiàn)BE的解析式，然后即可解決問(wèn)題.

解：（1）根據(jù)題意得，

解得，

∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖所示：

（3）當(dāng)y=0時(shí)，即﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴E（3，0），

∵拋物線(xiàn)y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2 + 4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，4），

∴S△ODE=×3×4=6；

（4）連接BE交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=1于點(diǎn)P，如圖，此時(shí)PA+PB的值最小，即△PAB的周長(zhǎng)最短，

設(shè)直線(xiàn)BE的解析式為y=kx+b(k≠0)，

則，解得：，

∴直線(xiàn)BE的解析式為：y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣x+3=2，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）.