Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，

3

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），且∠AOB=30°，點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：過點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對稱點(diǎn)C′，連接AC′與OB相交，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題AC′與OB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PA+PC的最小值=AC′，過點(diǎn)C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，過點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對稱點(diǎn)C′，連接AC′與OB相交，
則AC′與OB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PA+PC的最小值=AC′，
過點(diǎn)C′作C′D⊥OA于D，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），且∠AOB=30°，
∴OC=1，CC′=2×1×

1

2

=1，
∠OCC′=90°-30°=60°，
∴CD=1×

1

2

=

1

2

，C′D=1×

3

2

=

3

2

，
∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，

3

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），∠OAB=90°，
∴AC=3-1=2，
∴AD=2+

1

2

=

5

2

，
在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′=

( 3 2 )2+( 5 2 )2

=

7

．
故答案為：

7

．

點(diǎn)評：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點(diǎn)P的位置以及表示PA+PC的最小值的線段是解題的關(guān)鍵．