Question

如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點A₂，…，∠A_n-1BC的平分線與∠A_n-1CD的平分線交于點A_n．設∠A=θ，則∠A₂=

 

，∠A_n=

 

．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的外角性質

專題：規(guī)律型

分析：根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根據角平分線的定義可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，然后整理得到∠A₁=

1

2

∠A，同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁，從而判斷出后一個角是前一個角的

1

2

，然后表示出，∠A_n即可．

解答：解：由三角形的外角性質得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A₁，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=

1

2

∠A，
同理可得∠A₂=

1

2

∠A₁=

θ

4

，
…，
∠A_n=

θ

2n

．
故答案為：

θ

4

；

θ

2n

．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，熟記性質并準確識圖然后求出后一個角是前一個角的

1

2

是解題的關鍵．