【題目】如圖,已知拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),其中點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B(﹣9,10),AC∥x軸,點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:∵點(diǎn)A(0,1).B(﹣9,10)在拋物線上,

,

∴拋物線的解析式為y= x2+2x+1


(2)

解:∵AC∥x軸,A(0,1)

x2+2x+1=1,

∴x1=﹣6,x2=0,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)(﹣6,1),

∵點(diǎn)A(0,1).B(﹣9,10),

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1,

設(shè)點(diǎn)P(m, m2+2m+1)

∴E(m,﹣m+1)

∴PE=﹣m+1﹣( m2+2m+1)=﹣ m2﹣3m,

∵AC⊥EP,AC=6,

∴S四邊形AECP

=SAEC+SAPC

= AC×EF+ AC×PF

= AC×(EF+PF)

= AC×PE

= ×6×(﹣ m2﹣3m)

=﹣m2﹣9m

=﹣(m+ 2+ ,

∵﹣6<m<0

∴當(dāng)m=﹣ 時(shí),四邊形AECP的面積的最大值是 ,

此時(shí)點(diǎn)P(﹣ ,﹣


(3)

解:∵y= x2+2x+1= (x+3)2﹣2,

∴P(﹣3,﹣2),

∴PF=yF﹣yP=3,CF=xF﹣xC=3,

∴PF=CF,

∴∠PCF=45°

同理可得:∠EAF=45°,

∴∠PCF=∠EAF,

∴在直線AC上存在滿足條件的Q,

設(shè)Q(t,1)且AB=9 ,AC=6,CP=3

∵以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,

① 當(dāng)△CPQ∽△ABC時(shí),

,

,

∴t=﹣4,

∴Q(﹣4,1)

②當(dāng)△CQP∽△ABC時(shí),

,

∴t=3,

∴Q(3,1)


【解析】(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;(2)設(shè)點(diǎn)P(m, m2+2m+1),表示出PE=﹣ m2﹣3m,再用S四邊形AECP=SAEC+SAPC= AC×PE,建立函數(shù)關(guān)系式,求出極值即可;(3)先判斷出PF=CF,再得到∠PCF=∠EAF,以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,分兩種情況計(jì)算即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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其中正確的結(jié)論有(

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

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A.1個(gè)
B.2 個(gè)
C.3 個(gè)
D.4個(gè)

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【題目】閱讀下面的對(duì)話:

MM:“請(qǐng)幫我稱些梨.

售貨員:您上次買(mǎi)的梨賣(mài)沒(méi)了,您試一試新進(jìn)的蘋(píng)果,價(jià)格雖然比梨貴些,但蘋(píng)果營(yíng)養(yǎng)價(jià)

值更高.

MM:“好,我跟上次一樣,也買(mǎi)30元錢(qián).

對(duì)比兩次的電腦小票,MM發(fā)現(xiàn):每千克蘋(píng)果的價(jià)格是梨的1.5倍,蘋(píng)果的重量比梨輕2.5

千克.

根據(jù)上面的對(duì)話和MM發(fā)現(xiàn),分別求出蘋(píng)果和梨的單價(jià).

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(1)求m及k的值;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),并結(jié)合圖象寫(xiě)出不等式組0<x+m≤ 的解集.

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【題目】如圖1,點(diǎn)PQ分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊ABCAB、BC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),且它們的速度都為1cms。

⑴連接AQ、CP交于點(diǎn)M,在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,∠CMQ的大小變化嗎?若變化,則說(shuō)明理由,若不變,請(qǐng)直接寫(xiě)出它的度數(shù);

⑵點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,當(dāng)t為何值時(shí),PBQ為直角三角形?

⑶如圖2,若點(diǎn)PQ在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng),直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠CMQ的大小變化嗎?則說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求出它的度數(shù)。

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(2)在y軸上是否存在點(diǎn)Q.使得SACQ=SABC,如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),如果不存在,說(shuō)明理由;

(3)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____

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(1)求拋物線的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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