精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,已知拋物線y= x2+bx+c經過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),點B(﹣9,10),AC∥x軸,點P是直線AC下方拋物線上的動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F,當四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標;
(3)當點P為拋物線的頂點時,在直線AC上是否存在點Q,使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵點A(0,1).B(﹣9,10)在拋物線上,

,

∴拋物線的解析式為y= x2+2x+1


(2)

解:∵AC∥x軸,A(0,1)

x2+2x+1=1,

∴x1=6,x2=0,

∴點C的坐標(﹣6,1),

∵點A(0,1).B(﹣9,10),

∴直線AB的解析式為y=﹣x+1,

設點P(m, m2+2m+1)

∴E(m,﹣m+1)

∴PE=﹣m+1﹣( m2+2m+1)=﹣ m2﹣3m,

∵AC⊥EP,AC=6,

∴S四邊形AECP

=SAEC+SAPC

= AC×EF+ AC×PF

= AC×(EF+PF)

= AC×PE

= ×6×(﹣ m2﹣3m)

=﹣m2﹣9m

=﹣(m+ 2+

∵﹣6<m<0

∴當m=﹣ 時,四邊形AECP的面積的最大值是 ,

此時點P(﹣ ,﹣ ).


(3)

解:∵y= x2+2x+1= (x+3)2﹣2,

∴P(﹣3,﹣2),

∴PF=yF﹣yP=3,CF=xF﹣xC=3,

∴PF=CF,

∴∠PCF=45°

同理可得:∠EAF=45°,

∴∠PCF=∠EAF,

∴在直線AC上存在滿足條件的Q,

設Q(t,1)且AB=9 ,AC=6,CP=3

∵以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,

①當△CPQ∽△ABC時,

,

,

∴t=﹣4,

∴Q(﹣4,1)

②當△CQP∽△ABC時,

,

∴t=3,

∴Q(3,1).


【解析】(1)用待定系數法求出拋物線解析式即可;
(2)設點P(m, m2+2m+1),表示出PE=﹣ m2﹣3m,再用S四邊形AECP=SAEC+SAPC= AC×PE,建立函數關系式,求出極值即可;
(3)先判斷出PF=CF,再得到∠PCF=∠EAF,以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,分兩種情況計算即可.此題是二次函數綜合題,主要考查了待定系數法,相似三角形的性質,幾何圖形面積的求法(用割補法),解本題的關鍵是求函數解析式.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】某學校舉行“社會主義核心價值觀”知識比賽活動,全體學生都參加比賽,學校對參賽學生均給與表彰,并設置一、二、三等獎和紀念獎共四個獎項,賽后將獲獎情況繪制成如下所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據圖中所給的信息,解答下列問題:
(1)該校共有名學生;
(2)在圖①中,“三等獎”所對應扇形的圓心角度數是;
(3)將圖②補充完整;
(4)從該校參加本次比賽活動的學生中隨機抽查一名.求抽到獲得一等獎的學生的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線y= x2+bx+c經過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),點B(﹣9,10),AC∥x軸,點P是直線AC下方拋物線上的動點.

(1)求拋物線的解析式;
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E、F,當四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標;
(3)當點P為拋物線的頂點時,在直線AC上是否存在點Q,使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】已知拋物線C:y=x2﹣3x+m,直線l:y=kx(k>0),當k=1時,拋物線C與直線l只有一個公共點.

(1)求m的值;
(2)若直線l與拋物線C交于不同的兩點A,B,直線l與直線l1:y=﹣3x+b交于點P,且 + = ,求b的值;
(3)在(2)的條件下,設直線l1與y軸交于點Q,問:是否在實數k使SAPQ=SBPQ?若存在,求k的值,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線經過原點O,頂點為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點.
(1)求拋物線的解析式及點C的坐標;
(2)求證:△ABC是直角三角形;
(3)若點N為x軸上的一個動點,過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M,則是否存在以O,M,N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在, 于點, 于點 邊的中點,連接,則下列結論:;為等邊三角形.下面判斷正確是( )

A. ①正確 B. ②正確

C. ①②都正確 D. ①②都不正確

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】在如圖所示的網格中有四條線段AB、CD、EFGH(線段端點在格點上),

選取其中三條線段,使得這三條線段能圍成一個直角三角形.

答:選取的三條線段為

只變動其中兩條線段的位置,在原圖中畫出一個滿足上題的直角三角形(頂點仍在格點,并標上必要的字母).

答:畫出的直角三角形為△

所畫直角三角形的面積為

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】全球最大的關公塑像矗立在荊州古城東門外.如圖,張三同學在東門城墻上C處測得塑像底部B處的俯角為18°48′,測得塑像頂部A處的仰角為45°,點D在觀測點C正下方城墻底的地面上,若CD=10米,則此塑像的高AB約為米(參考數據:tan78°12′≈4.8).

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖1所示,已知:點A(﹣2,﹣1)在雙曲線C:y= 上,直線l1:y=﹣x+2,直線l2與l1關于原點成中心對稱,F1(2,2),F2(﹣2,﹣2)兩點間的連線與曲線C在第一象限內的交點為B,P是曲線C上第一象限內異于B的一動點,過P作x軸平行線分別交l1 , l2于M,N兩點.

(1)求雙曲線C及直線l2的解析式;
(2)求證:PF2﹣PF1=MN=4;
(3)如圖2所示,△PF1F2的內切圓與F1F2 , PF1 , PF2三邊分別相切于點Q,R,S,求證:點Q與點B重合.(參考公式:在平面坐標系中,若有點A(x1 , y1),B(x2 , y2),則A、B兩點間的距離公式為AB= .)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案