精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
已知:△ABC是任意三角形.

(1)如圖1所示,點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點,求證:∠MPN=∠A.
(2)如圖2所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,,點P1、P2是邊BC的三等分點,你認為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確?請說明你的理由.
(3)如圖3所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,,點P1、P2、…、P2009是邊BC的2010等分點,則∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=______.
(請直接將該小問的答案寫在橫線上)
【答案】分析:(1)由三角形的中位線定理可得到四邊形AMPN是平行四邊形,故有∠MPN=∠A;
(2)由平行線分線段成比例,可得到四邊形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四邊形,有∠MP1N=∠1,∠MP2N=∠2,∠BMP2=∠A,故∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A.
(3)類似地,可得到∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=∠A.
解答:(1)證明:∵點M、P、N分別是AB、BC、CA的中點,
∴線段MP、PN是△ABC的中位線,
∴MP∥AN,PN∥AM,(1分)
∴四邊形AMPN是平行四邊形,(2分)
∴∠MPN=∠A.(3分)

(2)解:∠MP1N+∠MP2N=∠A正確.(4分)
如圖所示,連接MN,(5分)
,∠A=∠A,
∴△AMN∽△ABC,
∴∠AMN=∠B,,
∴MN∥BC,MN=BC,(6分)
∵點P1、P2是邊BC的三等分點,
∴MN與BP1平行且相等,MN與P1P2平行且相等,MN與P2C平行且相等,
∴四邊形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四邊形,
∴MB∥NP1,MP1∥NP2,MP2∥AC,
(7分)
∴∠MP1N=∠1,∠MP2N=∠2,∠BMP2=∠A,
∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A.

(3)解:∠A.
理由:連接MN,
,∠A=∠A,
∴△AMN∽△ABC,
∴∠AMN=∠B,,
∴MN∥BC,MN=BC,
∵P1、P2、…、P2009是邊BC的2010等分點,
∴MN與BP1平行且相等,MN與P1P2平行且相等,…,MN與P2009C平行且相等,
∴四邊形MBP1N、MP1P2N、…、MP2009CN都是平行四邊形,
∴MB∥NP1,MP1∥NP2,…,MP2009∥AC,
∴∠MP1N=∠BMP1,∠MP2N=∠P1MP2,…,∠BMP2009=∠A,
∴∠MP1N+∠MP2N=∠BMP1+∠P1MP2+…+∠P2008MP2009=∠BMP2009=∠A.
點評:本題利用了三角形中位線定理及平行線分線段成比例的性質求解,從三角形的二等分點到n等分點,從特殊到一般,培養(yǎng)學生的探究能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

已知:△ABC是任意三角形.
精英家教網
(1)如圖1所示,點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點,求證:∠MPN=∠A.
(2)如圖2所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且
AM
AB
=
1
3
AN
AC
=
1
3
,點P1、P2是邊BC的三等分點,你認為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確?請說明你的理由.
(3)如圖3所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且
AM
AB
=
1
2010
,
AN
AC
=
1
2010
,點P1、P2、…、P2009是邊BC的2010等分點,則∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=
 

(請直接將該小問的答案寫在橫線上)

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

(本小題滿分9分)

已知:△ABC是任意三角形.

⑴如圖1所示,點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點.求證:∠MPN=∠A.

⑵如圖2所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,點P1、P2是邊BC的三等分點,你認為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確?請說明你的理由.

⑶如圖3所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,,點P1、P2、……、P2009是邊BC的2010等分點,則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________.

(請直接將該小問的答案寫在橫線上.)

 

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

(本小題滿分9分)
已知:△ABC是任意三角形.
⑴如圖1所示,點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點.求證:∠MPN=∠A.
⑵如圖2所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,,點P1、P2是邊BC的三等分點,你認為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確?請說明你的理由.
⑶如圖3所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,點P1、P2、……、P2009是邊BC的2010等分點,則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________.

(請直接將該小問的答案寫在橫線上.)

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源:2010年高級中等學校招生全國統(tǒng)一考試數學卷(四川自貢) 題型:解答題

(本小題滿分9分)
已知:△ABC是任意三角形.
⑴如圖1所示,點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點.求證:∠MPN=∠A.
⑵如圖2所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,點P1、P2是邊BC的三等分點,你認為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確?請說明你的理由.
⑶如圖3所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,,點P1、P2、……、P2009是邊BC的2010等分點,則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________.

(請直接將該小問的答案寫在橫線上.)

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源:2010年高級中等學校招生全國統(tǒng)一考試數學卷(四川自貢) 題型:解答題

(本小題滿分9分)

已知:△ABC是任意三角形.

⑴如圖1所示,點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點.求證:∠MPN=∠A.

⑵如圖2所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,,點P1、P2是邊BC的三等分點,你認為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確?請說明你的理由.

⑶如圖3所示,點M、N分別在邊AB、AC上,且,,點P1、P2、……、P2009是邊BC的2010等分點,則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________.

(請直接將該小問的答案寫在橫線上.)

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案