Question

函數(shù)y=

1

x

（x＞0）與y=

4

x

（x＞0）的圖象如圖所示，點(diǎn)P是y軸上的任意一點(diǎn)，直線x=t（t＞0）分別與兩個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)Q，R，連接PQ，PR．
（1）用t表示PQ的長(zhǎng)度，并判斷隨著t的值逐漸增大，RQ長(zhǎng)度的變化情況；
（2）當(dāng)t從小到大變化時(shí)，△PQR的面積是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t=1時(shí)，△PQR的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為

 

時(shí)，△PQR的周長(zhǎng)最小，最小周長(zhǎng)是

 

；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由于R和Q的橫坐標(biāo)都是t，則利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可表示出它們的坐標(biāo)，然后利用它們的縱坐標(biāo)之差即可表示出RQ的長(zhǎng)度，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)討論增減性；
（2）根據(jù)三角形面積公式易得S_△PRQ=3，于是可判斷PQR的面積不發(fā)生變化
（3）當(dāng)t=1時(shí)，易得Q（1，1），R（1，4），則RQ=3，作點(diǎn)R關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M，連結(jié)MQ，交y軸于P點(diǎn)，如圖，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4），利用待定系數(shù)法求出直線MQ的解析式為y=-

3

2

x+

5

2

，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

5

2

）；然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)△PQR的周長(zhǎng)最小，接著根據(jù)勾股定理計(jì)算出MQ，從而可得到△PQR的周長(zhǎng)的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)x=t時(shí)，y=

1

x

1

t

，則Q（t，

1

t

）；
當(dāng)x=t時(shí)，y=

4

x

=

4

t

，則R（t，

4

t

），
所以RQ=

4

t

-

1

t

=

3

t

，
當(dāng)t＞0時(shí)，RQ隨t的增大而減小；
（2）△PQR的面積不發(fā)生變化．理由如下：
∵S_△PRQ=

1

2

•RQ•h=

1

2

×

3

t

×t=3，
∴，PQR的面積不發(fā)生變化；
（3）△PQR的周長(zhǎng)發(fā)生變化．
當(dāng)t=1時(shí)，Q（1，1），R（1，4），則RQ=3，
作點(diǎn)R關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M，連結(jié)MQ，交y軸于P點(diǎn)，如圖，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4），
設(shè)直線MQ的解析式為y=kx+b，
把M（-1，4），Q（1，1）分別代入得

-k+b=4 k+b=1

，解得

k=- 3 2 b= 5 2

，
∴直線MQ的解析式為y=-

3

2

x+

5

2

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-

3

2

x+

5

2

=

5

2

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

5

2

）；
∵PM=PR，
∴PR+PQ=PM+PQ=WQ，
∴此時(shí)△PQR的周長(zhǎng)最小，
在Rt△MRQ中，∵RQ=3，RM=2，
∴MQ=

32+22

=

13

，
∴PQ+PR=MQ=

13

，
∴△PQR的周長(zhǎng)的最小值為3+

13

．
故答案為（0，

5

2

）；3+

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決三角形周長(zhǎng)的最小值問(wèn)題．