Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過B的直線l：y=kx+1與x軸交于A點(diǎn)，且∠BAO=30°．
（1）求k的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）C為OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為線段BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以O(shè)，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形恰好是等邊三角形時(shí)，求出等邊三角形的面積；
（3）在（2）的條件下，將等邊△OPC沿x軸正方向平行移動(dòng)，是否存在下列情形：直線l恰好將等邊△POC分成全等的兩部分？若存在，求出此時(shí)OP所在直線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)∠BAO的值可以求得k的值，即可求得直線l與x軸交點(diǎn)，即可解題；
（2）根據(jù)△OCP是等邊三角形，可以求得∠POC=60°，即可求得∠OPA=90°，根據(jù)S_△AOB=

1

2

AB•OP=

1

2

BO•AO，即可求得PO的值，即可求得S_△POC的值；
（3）作出平移后圖形，易證當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)至與點(diǎn)A重合時(shí)，直線l恰好將等邊△POC分成全等的兩部分，即可求得O'點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平移直線斜率不變即可求得平移后直線OP的解析式，即可解題．

解答：解：（1）∵∠BAO=30°，
∴tan∠BAO=

3

3

，
∴k=-

3

3

，
∴直線l解析式為：y=-

3

3

x+1，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

3

，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（

3

，0）；
（2）∵△OCP是等邊三角形，
∴∠POC=60°，
∵∠BAO=30°，
∴∠OPA=90°，AB=2BO=2，
∵S_△AOB=

1

2

AB•OP=

1

2

BO•AO，
∴PO=

3

2

，
∴S_△POC=

1

2

PO•PO•sin60°=

3 3

16

；
（3）作出平移后圖形，

∵直線l恰好將等邊△POC分成全等的兩部分，
∴PG=CG，
∵∠BAO=30°，∠PAO=60°，
∴∠PAG=30°，
∴當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)至與點(diǎn)A重合時(shí)，直線l恰好將等邊△POC分成全等的兩部分，
∴AO'=AC=CO=

3

2

，
∴O'點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，0），
∵∠AOP=60°，∴直線OP斜率為

3

，
設(shè)平移后OP所在直線為y=

3

x+b，
∵平移后OP所在直線經(jīng)過點(diǎn)O'，
代入O'得：平移后OP所在直線為y=

3

x-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線解析式的求解，考查了直線和x軸交點(diǎn)的求解，考查了等邊三角形面積的計(jì)算，考查了等邊三角形三線合一的性質(zhì)，本題中求得直線PO的解析式是解題的關(guān)鍵．