Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），C在y軸正半軸上，三角形ABC的面積為6，點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)．
（1）求C點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A沿著射線AB勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），試用含t的式子表示出線段PB的長；
（3）在（2）的條件下，是否有某一時(shí)刻三角形APD的面積等于三角形PBC的面積？若存在，請(qǐng)求出符合條件t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：（1）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t）（t＞0），根據(jù)△ABC的面積為6得到

1

2

×4×t=6，解出t可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，即0＜t＜2時(shí)，PB=AB-AP；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上，即t＞2時(shí)，PB=AP-AB；
（3）分兩種情況：①點(diǎn)P在線段AB上，即0＜t＜2；②點(diǎn)P在線段AB的延長線上，即t＞2，都可以根據(jù)三角形APD的面積等于三角形PBC的面積列出方程，然后解方程即可求解．

解答：解：（1）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t）（t＞0），
∵S_△ABC=

1

2

×4×t=6，解得t=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

3

2

）；

（2）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，即0＜t＜2時(shí)，PB=AB-AP=4-2t；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上，即t＞2時(shí)，PB=AP-AB=2t-4；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，即0＜t＜2時(shí)，
∵三角形APD的面積等于三角形PBC的面積，
∴

1

2

•2t•

3

2

=

1

2

（4-2t）×3，
解得t=

4

3

；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上，即t＞2時(shí)，
∵三角形APD的面積等于三角形PBC的面積，
∴

1

2

•2t•

3

2

=

1

2

（2t-4）×3，
解得t=4．
故存在t=

4

3

或t=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S_△=

1

2

×底×高．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．