Question

如圖，將矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，若S_△ABE：S_△BFE=4：5，則tan∠BFE=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：如圖，首先證明

AE

BF

=

4

5

；設(shè)AE=4λ，得到BF=5λ；證明AB=

BE2-AE2

=3λ；BD=

AB2+AD2

=3

10

λ；證明EO=FO，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用面積公式求出EF的長度；運(yùn)用三角函數(shù)的定義即可解決問題．

解答：解：如圖，連接BD、DF；過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M；
則AB=EM；而S_△ABE：S_△BFE=4：5，
∴

1 2 AE•AB

1 2 BF•EM

=

4

5

，即

AE

BF

=

4

5

；
設(shè)AE=4λ，則BF=5λ；
由題意得：BE=DE，∠BEF=∠DEF；
∵DE∥BF，
∴∠DEF=∠BFE，∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF=5λ；由勾股定理得：
AB=

BE2-AE2

=3λ；BD=

AB2+AD2

=3

10

λ；
由題意得：BD⊥EF，BO=DO；而DE∥BF，
∴△DEO∽△BFO，
∴

EO

FO

=

DO

BO

=1，即EO=FO；
∵S平行四邊形=BF•AB=

1

2

BD•EF，
∴5λ•3λ=

1

2

×3

10

λ•EF，
∴EF=

10

λ，tan∠BFE=

BO

OF

=

2BO

2OF

=

BD

EF

=3，
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力、運(yùn)算求解能力均提出了較高的要求．