【題目】已知△ABC中,∠A=30°.
(1)如圖①,∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O,則∠BOC=°.
(2)如圖②,∠ABC、∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2 , 則∠BO2C=°.
(3)如圖③,∠ABC、∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On1(內(nèi)部有n﹣1個(gè)點(diǎn)),求∠BOn1C(用n的代數(shù)式表示).
(4)如圖③,已知∠ABC、∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On1 , 若∠BOn1C=60°,求n的值.

【答案】
(1)105
(2)80
(3)解:∵點(diǎn)On1是∠ABC與∠ACB的n等分線的交點(diǎn),

∴∠On1BC+∠On1CB= (∠ABC+∠ACB)= ×150°,

∴∠BOn1C=180°﹣ ×150°


(4)解:由(3)得:180°﹣ ×150°=60°,

解得:n=5.


【解析】解:∵∠BAC=30°, ∴∠ABC+∠ACB=150°,
⑴∵點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn),
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=75°,
∴∠BOC=105°;
⑵∵點(diǎn)O2是∠ABC與∠ACB的三等分線的交點(diǎn),
∴∠O2BC+∠O2CB= (∠ABC+∠ACB)=100°,
∴∠BO2C=80°;
【考點(diǎn)精析】掌握三角形的內(nèi)角和外角和三角形的外角是解答本題的根本,需要知道三角形的三個(gè)內(nèi)角中,只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角;直角三角形的兩個(gè)銳角互余;三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角;三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角,叫三角形的外角;三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

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