Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕EF分別與AB、DC交于點(diǎn)E和點(diǎn)F， 點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′．

（1）證明：AE=CF；

（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5.

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，運(yùn)用ASA即可判定△ADF≌△AB′E；
（2）先設(shè)FA=FC=x，則DF=DC-FC=18-x，根據(jù)Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得出方程122+（18-x）2=x2，解得x=13．所在DF=18-13=5.

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，
∴∠DAF=∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中，

，
∴△ADF≌△AB′E（ASA）．
∴AE=CF；
（2）解：由折疊性質(zhì)得FA=FC，
設(shè)FA=FC=x，則DF=DC-FC=18-x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴122+（18-x）2=x2．
解得x=13．

∴DF=18-13=5