【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB交x軸于點(diǎn)A(5,0),交y軸于點(diǎn)B,AO是⊙M的直徑,其半圓交AB于點(diǎn)C,且AC=3.取BO的中點(diǎn)D,連接CD、MD和OC.
(1)求證:CD是⊙M的切線;
(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、M、A,其對稱軸上有一動點(diǎn)P,連接PD、PM,求△PDM的周長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)△PDM的周長最小時(shí),拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使S△QAM= S△PDM?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)證明:連接CM,
∵AO是直徑,M是圓心,
∴CM=OM,∠ACO=90°,
∴∠MOC=∠MCO.
∵D為OB的中點(diǎn),
∴CD=OD,
∴∠DOC=∠DCO.
∵∠DOC+∠MOC=90°,
∴∠DCO+∠MCO=90°,
即∠MCD=90°,
∴CD是⊙M的切線
(2)解:方法一:
∵∠ACO=∠AOB=90°,∠OAB=∠OAB,
∴△ACO∽△AOB,
∴ ,
∴ ,
∴AB= .
在Rt△AOB中,由勾股定理,得
BO= ,
∵D為OB的中點(diǎn),
∴OD= OB= ,
∴D(0, ).
∵OM=AM= OA= ,
∴M( ,0).設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣ )(x﹣5),由題意,得
=a(0﹣ )(0﹣5),
解得:a= ,
∴拋物線的解析式為:y= (x﹣ )(x﹣5),
= (x﹣ )2﹣ .
連接AD交對稱軸于P,設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,由題意,得
,
解得: ,
∴直線AD的解析式為:y=﹣ x+ ,
當(dāng)x= 時(shí),
y= ,
∴P( , );
方法二:
∵OA=5,AC=3,∠ACO=90°,
∴OC=4,tan∠CAO= ,
∴OB= ,
∵D為BO的中點(diǎn),
∴D(0, ),M( ,0),A(5,0),
∴設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣ )(x﹣5),
把D(0, )代入得a= ,
∴拋物線的解析式為:y= (x﹣ )2﹣ ,
∵P為對稱軸上一點(diǎn),
∴PM=PA,
∴△PDM的周長最小時(shí),D,P,A三點(diǎn)共線,
∵D(0, ),A(5,0),
∴l(xiāng)AD:y=﹣ x+ ,
當(dāng)x= 時(shí),y= ,
∴P( , ).
(3)解:存在.
∵S△PDM=S△ADM﹣S△APM,
∴S△PDM= × × ﹣ × × ,
= ,
∴S△QAM= = .
設(shè)Q的縱坐標(biāo)為m,由題意,得
,
∴|m|= ,
∴m=± ,
當(dāng)m= 時(shí),
= (x﹣ )2﹣ .
x1= ,x2= ,
當(dāng)m=﹣ 時(shí),
﹣ = (x﹣ )2﹣ .
x= .
∴Q( , ),( , ),( ,﹣ ).
【解析】本題是一道二次函數(shù)與幾何的綜合題.解答此題的關(guān)鍵是求出拋物線的解析式.
(1)連接CM,由題意易得CM=OM,從而得到∠MOC=∠MCO,由OA為直徑,根據(jù)圓周角的推論可得∠ACO=90°,易證CD=OD,∠DOC=∠DCO,由∠DOC+∠MOC=90°就可得∠DCO+∠MCO=90°,從而可得結(jié)論;
(2)根據(jù)已知條件可得△ACO∽△AOB求得AC:AO=AO:AB,從而求出AB,在Rt△AOB中由勾股定理求出OB的長,根據(jù)D是OB的中點(diǎn)可求得D的坐標(biāo),由待定系數(shù)法就可求得拋物線的解析式,從而求出其對稱軸,連接AD交對稱軸于P,先求出AD的解析式就可得點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)根據(jù)S△PDM=S△ADM-S△APM,可求得△PDM的面積,從而表示出△QAM面積的大小,設(shè)Q的縱坐標(biāo)為m,根據(jù)三角形的面積可求出Q的橫坐標(biāo),即可得
【考點(diǎn)精析】掌握圓周角定理和切線的判定定理是解答本題的根本,需要知道頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
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【題目】2018年1月20日,山西迎來了“復(fù)興號”列車,與“和諧號”相比,“復(fù)興號”列車時(shí)速更快,安全性更好.已知“太原南﹣北京西”全程大約500千米,“復(fù)興號”G92次列車平均每小時(shí)比某列“和諧號”列車多行駛40千米,其行駛時(shí)間是該列“和諧號”列車行駛時(shí)間的(兩列車中途停留時(shí)間均除外).經(jīng)查詢,“復(fù)興號”G92次列車從太原南到北京西,中途只有石家莊一站,停留10分鐘.求乘坐“復(fù)興號”G92次列車從太原南到北京西需要多長時(shí)間.
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【題目】輪船沿江從A港順流行駛到B港,比從B港返回A港少用3小時(shí),若船速為26千米/時(shí),水速為2千米/時(shí),求A港和B港相距多少千米.設(shè)A港和B港相距x千米.根據(jù)題意,可列出的方程是:( )
A.B.
C.D.
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【題目】已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,現(xiàn)按如下步驟作圖:
①分別以A,C為圓心,a為半徑(a>AC)作弧,兩弧分別交于M,N兩點(diǎn);
②過M,N兩點(diǎn)作直線MN交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E;
③將△ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,設(shè)點(diǎn)D的像為點(diǎn)F.
(1)請?jiān)趫D中直線標(biāo)出點(diǎn)F并連接CF;
(2)求證:四邊形BCFD是平行四邊形;
(3)當(dāng)∠B為多少度時(shí),四邊形BCFD是菱形.
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【題目】為方便市民通行,某廣場計(jì)劃對坡角為30°,坡長為60米的斜坡AB進(jìn)行改造,在斜坡中點(diǎn)D處挖去部分坡體(陰影表示),修建一個(gè)平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE.
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【題目】如圖,在5×5的方格紙中,每一個(gè)小正方形的邊長都為1.
(1)∠BCD是不是直角?請說明理由;
(2)求四邊形ABCD的面積.
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【題目】如果點(diǎn)P(2x+6,x-4)在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi),那么x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為
A. B. C. D.
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【題目】閱讀以下材料:對于三個(gè)數(shù)a,b,c,用M{a,b,c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù),用min{a,b,c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù).例如:M{﹣1,2,3}==;min{﹣1,2,3}=﹣1;min{﹣1,2,a}=
解決下列問題:
(1)若min{2,2x+2,4﹣2x}=2,則x的范圍__________;
(2)①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x;
②根據(jù)①,你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{a,b,c}=min{a,b,c},那么__________(填a,b,c的大小關(guān)系)”.
③運(yùn)用②的結(jié)論,若M{2x+y+2,x+2y,2x﹣y}=min{2x+y+2,x+2y,2x﹣y},求x+y的值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=10,∠C=30°點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動,當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動的時(shí)間是t秒(t>0),過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE、EF.
(1)DF= ;(用含t的代數(shù)式表示)
(2)求證:△AED≌△FDE;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF是等邊三角形?說明理由;
(4)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?(請直接寫出t的值.)
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