Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=kx+20與x軸、y軸分別交于點A、B，OB=2AO，過點C（0，8）做射線CD交直線l于點D，且CD∥x軸．動點P從點O出發(fā)沿y軸的正半軸向點B運動，速度為每秒2個單位長度．過點P做x軸的平行線交直線l于點Q．
（1）設(shè)點P的運動時間為t（秒），求△PAQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將Rt△OPA沿直線PA折疊得到Rt△O′PA．是否存在t值，使Rt△O′PA的頂點O′恰好落在射線CD上？若存在求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得AB的解析式，根據(jù)P點移動的速度與移動時間，可得OP的長，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，即PQ的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得OA=O′A，OP=O′P，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答：解：（1）如圖1：
，
由y=x+20，當(dāng)x=0時，得OB=20，
由OB2=OA，得OA=10，即A（10，0）．
把（10，0）代入y=kx+20，得10k+20=0．
解得k=-2，
直線l的解析式為 y=-2x+20．
由動點P從點O出發(fā)沿y軸的正半軸向點B運動，速度為每秒2個單位長度，得OP=2t，即P（0，2t）．
由過點P做x軸的平行線交直線l于點Q，得-2x+20=2t，解得x=10-t，即Q（10-t，2t）．
S_△PAQ=

1

2

PQ•PO=

1

2

（10-t）2t=-t²+10t，
即△PAQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式S=-t²-10t；
（2）存在t值，Rt△O′PA的頂點O′恰好落在射線CD上，如圖2：
，
設(shè)O′點的坐標(biāo)為（a，8），P點坐標(biāo)是（0，2t），
由Rt△OPA沿直線PA折疊得到Rt△O′PA，得

AO=AO′ BO=BO′

，即

(a-10)2+82 =10① (8-2t)2+a2 =2t②

，
解①得a=16，或a=4，
當(dāng)a=16時，②化簡，得32t=16×16+64，解得t=10，
當(dāng)a=4時，32t=80，解得t=

5

2

．
綜上所述：t=

5

2

或t=10時，Rt△O′PA的頂點O′恰好落在射線CD上．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)求函數(shù)解析式，利用函數(shù)值得出相應(yīng)自變量的值，三角形的面積公式；（2）利用了軸對稱的性質(zhì)得出方程組是解題關(guān)鍵．