Question

四邊形ABCD中，AD、BC的延長線交于E，AB、DC的延長線交于F，∠AEB、∠AFD的平分線交于點P，∠A=44°，∠BCD=136°．
（1）求證：∠CBF=∠ADC；
（2）求∠PEB+∠PFC；
（3）求∠EPF．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠BCD=180°，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義得∠ABC+∠CBF=180°，所以∠CBF=∠ADC；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠ADC+∠AFD=180°，∠A+∠AEB+∠ABE=180°，整理有2∠A+∠ADC+∠ABE+∠AFD+∠AEB=360°，利用（1）的結(jié)論得到∠AFD+∠AEB=92°，然后根據(jù)角平分線的定義可計算出∠PEB+∠PFC=46°；
（3）利用三角形內(nèi)角和定理得到∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠EDF，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠EDF=∠A+∠AFD=∠A+2∠PFD，則∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠A+2∠PFD，然后利用（2）的結(jié)論進(jìn)行計算即可．

解答：（1）證明：∵∠A=44°，∠BCD=136°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠BCD=180°，
而∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠ADC；

（2）解：∵∠A+∠ADC+∠AFD=180°，
∠A+∠AEB+∠ABE=180°，
∴2∠A+∠ADC+∠ABE+∠AFD+∠AEB=360°，
∴∠AFD+∠AEB=360°-2×44°-180°=92°，
∵∠AEB、∠AFD的平分線交于點P，
∴∠PEB+∠PFC=

1

2

（∠AEB+∠AFD）=

1

2

×92°=46°；

（3）解：∵∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠EDF，
而∠EDF=∠A+∠AFD=∠A+2∠PFD，
∴∠EPF+∠PFD=∠AEP+∠A+2∠PFD，
∴∠EPF=∠A+∠AEP+∠PFD=44°+46°=90°

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，也考查了三角形的外角性質(zhì)．