Question

如圖，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)P在直徑BD的延長(zhǎng)線上，且AB=AP．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=2

3

，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π和根號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）如圖，連接OA；證明∠OAP=90°，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖，作輔助線；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面積，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖，連接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°-30°=90°，
∴PA是⊙O的切線．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，則AM=BM=

3

，
∵tan30°=

OM

AM

，sin30°=

OM

AO

，
∴OM=1，OA=2；
∴S△AOB=

1

2

×AB•OM=

1

2

×2

3

×1=

3

，
S扇形OAB=

120π•22

360

=

4π

3

，
∴圖中陰影部分的面積=

4π

3

-

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了切線的判定、扇形的面積公式及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運(yùn)用圓周角定理及其推論、垂徑定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、解答．