【題目】如圖,已知D,E分別為△ABC的邊AB,BC上兩點(diǎn),點(diǎn)A,C,E在⊙D上,點(diǎn)B,D在⊙E上.F為上一點(diǎn),連接FE并延長交AC的延長線于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M.
(1)若∠EBD為α,請將∠CAD用含α的代數(shù)式表示;
(2)若EM=MB,請說明當(dāng)∠CAD為多少度時,直線EF為⊙D的切線;
(3)在(2)的條件下,若AD=,求的值.
【答案】(1);(2)45°;(3)2+
【解析】
(1)根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對等角得:∠EDB=∠EBD=α,∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論;
(2)設(shè)∠MBE=x,同理得:∠EMB=∠MBE=x,根據(jù)切線的性質(zhì)知:∠DEF=90°,所以∠CED+∠MEB=90°,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;根據(jù)(1)的結(jié)論計算∠MBE=30°,證明△CDE是等邊三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,根據(jù)三角形內(nèi)角和及等腰三角形的判定得:EN=CE=,代入化簡可得結(jié)論.
(1)連接CD、DE,
在⊙E中,∵ED=EB,
∴∠EDB=∠EBD=α,
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,
在⊙D中,∵DC=DE=AD,
∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,
△ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴∠CAD==;
(2)設(shè)∠MBE=x,
∵EM=MB,
∴∠EMB=∠MBE=x,
當(dāng)EF為⊙D的切線時,∠DEF=90°,
∴∠CED+∠MEB=90°,
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,
△ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,
∴∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;
由(1)得:∠CAD=;
∴∠MBE=30°,
∴∠CED=2∠MBE=60°,
∵CD=DE,
∴△CDE是等邊三角形,
∴CD=CE=DE=EF=AD=,
Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=,
∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,
△ACB中,∠NCB=45°+30°=75°,
△CNE中,∠CEN=∠BEF=30°,
∴∠CNE=75°,
∴∠CNE=∠NCB=75°,
∴EN=CE=,
∴===2+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小淇在說明 “直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是真命題,部分思路如下:如圖,在∠ACB內(nèi)做∠BCD=∠B,CD與AB相交于點(diǎn)D,…….請根據(jù)以上思路,完成證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4).
(1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線AC,它與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)C,且使∠ABC=90°,△ABC與△AOC的面積相等.(作圖不必寫作法,但要保留作圖痕跡.)
(2)問:(1)中這樣的直線AC是否唯一?若唯一,請說明理由;若不唯一,請在圖中畫出所有這樣的直線AC,并寫出與之對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(3分)以下四種沿AB折疊的方法中,不一定能判定紙帶兩條邊線a,b互相平行的是( )
A. 如圖1,展開后測得∠1=∠2
B. 如圖2,展開后測得∠1=∠2且∠3=∠4
C. 如圖3,測得∠1=∠2
D. 如圖4,展開后再沿CD折疊,兩條折痕的交點(diǎn)為O,測得OA=OB,OC=OD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 推理填空
已知:如圖所示,點(diǎn)B,C,E在同一條直線上,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,求證:AD∥BE
證明:∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠______(______)
∵∠3=∠4(已知)∴∠3=∠______(______)
∴∠1=∠2(已知)∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等式的性質(zhì))
即∠BAF=∠DAC
∴∠3=∠______(等量代換)
∴AD∥BE(______)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①所示是一個長為2m,寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形,圖②是邊長為m-n的正方形.
(1)請用圖①中四個小長方形和圖②中的正方形拼成一個大正方形,畫出示意圖(要求連接處既沒有重疊,也沒有空隙);
(2)請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示(1)中拼得的大正方形的面積;
(3)請直接寫出(m+n)2,(m-n)2,mn這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系;
(4)根據(jù)(4)中的等量關(guān)系,解決如下問題:若a+b=6,ab=4,求(a-b)2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D,∠ADC=125°,求∠ACB和∠BAC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某次“小學(xué)生書法比賽”的成績情況,隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計,并將統(tǒng)計情況繪成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖,己知成績x(單位:分)均滿足“50≤x<100”.根據(jù)圖中信息回答下列問題:
(1)圖中a的值為 ;
(2)若要繪制該樣本的扇形統(tǒng)計圖,則成績x在“70≤x<80”所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為 度;
(3)此次比賽共有300名學(xué)生參加,若將“x≥80”的成績記為“優(yōu)秀”,則獲得“優(yōu)秀“的學(xué)生大約有 人:
(4)在這些抽查的樣本中,小明的成績?yōu)?2分,若從成績在“50≤x<60”和“90≤x<100”的學(xué)生中任選2人,請用列表或畫樹狀圖的方法,求小明被選中的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)A′重合,折痕為BE,再沿過點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)B與AD邊上的點(diǎn) B重合,折痕為EF,連結(jié),.,則的值為________
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