Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，D在AB邊上，以BD為直徑的半圓與AC相切于點E，連接BE．

（1）試說明：BE平分∠ABC；

（2）若∠A=30°，⊙O的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）18﹣6π．

【解析】

試題分析：（1）連接OE，根據切線的性質得出OE⊥AC，即可證得OE∥BC，得出∠EBC=∠OEB，因為∠OEB=∠OBE，證得∠OBE=∠EBC，得出結論；

（2）分別求得三角形AOE和扇形的面積，根據S陰影=S△AOE﹣S扇形ODE即可求得．

（1）證明：連接OE，

∵半圓與AC相切于點E，

∴OE⊥AC，

∵∠C=90°，

∴OE∥BC，

∴∠EBC=∠OEB，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠OBE=∠EBC，

∴BE平分∠ABC；

（2）∵OE⊥AC，∠A=30°，⊙O的半徑為6，

∴OE=6，∠AOE=60°，

∴OA=2OE=12，

∴AE==6，

∴S陰影=S△AOE﹣S扇形ODE=×6×6﹣=18﹣6π．