Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)）．

（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3，AB=4．求拋物線的表達(dá)式；

（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)O，且與x正半軸交于點(diǎn)C，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)m=4時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，試判斷y1與y2的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-6x-5．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，1）．（3）y1＞y2．

【解析】

（1）先根據(jù)拋物線和x軸的交點(diǎn)及線段的長，求出拋物線的解析式；

（2）根據(jù)平移后拋物線的特點(diǎn)設(shè)出拋物線的解析式，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出拋物線解析式；

（3）根據(jù)拋物線的解析式判斷出點(diǎn)M，N的大概位置，再關(guān)鍵點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)的范圍即可得出結(jié)論．

（1）拋物線y=-x2+mx+n的對(duì)稱軸為直線x=-3，AB=4．

∴點(diǎn)A（-5，0），點(diǎn)B（-1，0）．

∴拋物線的表達(dá)式為y=-（x+5）（x+1）

∴y=-x2-6x-5．

（2）如圖1，

依題意，設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為：y=-x2+bx．

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，拋物線與x正半軸交于點(diǎn)C（b，0）．

∴b＞0．

記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（，），

∵△OCP是等腰直角三角形，

∴=

∴b=2．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，1）．

（3）如圖2，

當(dāng)m=4時(shí)，拋物線表達(dá)式為：y=-x2+4x+n．

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．

∵點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2）在拋物線上，

且x1＜2，x2＞2，

∴點(diǎn)M在直線x=2的左側(cè)，點(diǎn)N在直線x=2的右側(cè)．

∵x1+x2＞4，

∴2-x1＜x2-2，

∴點(diǎn)M到直線x=2的距離比點(diǎn)N到直線x=2的距離近，

∴y1＞y2．