Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（6，8），點D坐標為（9，0），過B作BA⊥x軸于點A，作BC⊥y軸于點C，點P沿OC自點O向點C運動，同時點Q沿OA向點A運動，點Q與點P的速度之比為1：n，連接PB、PQ．
（1）求經(jīng)過C、B、D三點的拋物線；
（2）當n=

3

3

時，∠OPQ=30°；當n=

1

時，∠OPQ=45°；當n=

3

時，∠OPQ=60°；
（3）若存在PB⊥PQ，試求OQ的取值范圍；
（4）點M為四邊形OABC邊上的某點，請求出能使△MBD為等腰三角形的點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）設經(jīng)過C、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)已知條件可求出C的坐標為（0，8），把C，D，B的坐標分別代入求出a，b，c的值即可；
（2）若使∠OPQ=30°則由30°角的銳角三角函數(shù)值即可求出n的值，45°，60°思路類同；
（3）若存在PB⊥PQ，則△BCP∽△PBQ，設OQ=x，則有PO=xn，利用相似三角形的性質(zhì)：對應邊的比值相等即可得到關(guān)于x的一元二次方程，令根的判別式△≥即可求出x的取值范圍，即OQ的取值范圍；
（4）因為等腰三角形MBD的腰和底確定，所以要分三種情況討論①DB=DM時；②BM=DM時；③MA=MB時分別求出符合題意M的坐標即可．

解答：解：（1）設經(jīng)過C、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵點B的坐標為（6，8），
B作BA⊥x軸于點A，作BC⊥y軸于點C，
∴四邊形BCOA是矩形，
∴OC=AB=8，
∴C的坐標是（0，8），
∵點D坐標為（9，0），
∴

8=36a+6b+c 0=81a+8b+c 8=c

，
解得：

a=- 8 27 b= 16 9 c=8

，
故經(jīng)過C、B、D三點的拋物線的解析式是y=-

8

27

x2+

16

9

x+8；

（2）若使∠OPQ=30°，即tan∠OPQ=

OQ

PO

=

3

3

，
則

n

1

=

3

3

，
解得n=

3

3

，
若使∠OPQ=45°，則OP=OQ，
則n=1，
若使∠OPQ=60°，tan∠OPQ=

OQ

PO

=

3

，
則

n

1

=

3

，
解得n=

3

，
故答案為：

3

3

，1，

3

；

（3）若存在PB⊥PQ，則∠BPQ=90°，
∵∠C=∠POQ=90°，
∴∠CPB+∠CBP=90°，∠CPB+∠OPQ=90°，
∴∠CBP=∠OPQ，
∴△BCP∽△PBQ，
∴

BC

PO

=

CP

OQ

，
設OQ=x，則有PO=xn，
∴

6

xn

=

8-xn

x

，
化簡得：xn²-8n+6=0，
∵△=（-8）2-4•x•6≥0，
∴x≤

8

3

，
∵OQ=x是線段的長度，
∴0＜OQ≤

8

3

；

（4）①當DB=DM時，以D為圓心，DB為半徑作圓D，交矩形OA邊于M₁，求得M₁的坐標為（9-

73

，0）；
②BM=DM時，以B為圓心，以BD為半徑作圓B，交OA邊于M₂，交OC邊于M₃，由勾股定理得：M₂的坐標為（3，0），M₃的坐標為（0，8-

37

）；
③MA=MB時，作BD垂直平分線分別交矩形AB邊M4，交OC邊于M5，由勾股定理得M₄的坐標為（6，

55

16

），M₅的坐標為（0，

19

16

）；
綜上所述符合條件要求的M有五個點，它們的坐標分別是（9-

73

，0）、（3，0）、（0，8-

37

）、（6，

55

16

）、（0，

19

16

）．

點評：本題綜合性考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、特殊角的銳角三角函數(shù)值、相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)和數(shù)學分類討論思想的運用，題目具有很強的綜合性，難度不小．