Question

【題目】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，BE=2DE，延長DE到點(diǎn)F，使得EF=BE，連接CF．

（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥BC且2DE=BC，

又∵BE=2DE，EF=BE，

∴EF=BC，EF∥BC，

∴四邊形BCFE是平行四邊形，

又∵BE=FE，

∴四邊形BCFE是菱形

（2）解：∵∠BCF=120°，

∴∠EBC=60°，

∴△EBC是等邊三角形，

∴菱形的邊長為4，高為2 ，

∴菱形的面積為4×2 =8

【解析】（1）由已知D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，得到DE是△ABC的中位線，根據(jù)中位線定理，得到DE∥BC且2DE=BC，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是是菱形，即可得證。
（2）根據(jù)已知易證得△EBC是等邊三角形，就可求出此菱形的邊長，再根據(jù)勾股定理求出菱形的高，即可求出菱形的面積。也可以連接BF，求出BF的長，根據(jù)菱形的面積等于兩對角線之積的一半。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對三角形中位線定理的理解，了解連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．