Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點DD，點E在BC上，連結(jié)BD，DE，∠CDE＝∠ABD

（1）證明：DE是⊙O的切線；

（2）若BD＝24，sin∠CDE=，求圓⊙O的半徑和AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）13，

【解析】

(1)連結(jié)OD ,如圖，根據(jù)圓周角定理,由AB為⊙O的直徑得∠ADO+∠ODB=90°，再由OB = OD得∠OBD=∠ODB,則∠ADO+∠ABD=90°，由于∠CDE=∠ABD,所以∠ADO+∠CDE =90°，然后根據(jù)平角的定義得∠ODE=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線;

（2）設(shè)＝，則＝，根據(jù)勾股定理得到，求得圓的半徑為13；連結(jié)，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CO⊥AB，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

證明：連結(jié)，如圖，

∵為的直徑，

∴,即

∵＝，

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴是的切線；

∵

∴

在 中，

設(shè)＝，則＝，

∴，

∴＝，解得＝，

∴＝，

∴圓的半徑為；

連結(jié)，如圖，

∵＝，＝，

∴

∴

在 中，∵

∴