Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點在x軸上，AB∥y軸，C點在y軸上，CB∥x軸，點B的坐標(biāo)為（8，10），點D在BC上，將△ABD沿直線AD翻折，使得點B剛好落在y軸的點E處．
（1）求△CDE的面積；
（2）求經(jīng)過A、D、O三點的拋物線的解析式；
（3）點M是（2）中拋物線上的動點，點N是其對稱軸上的動點，問是否存在這樣的點M和點N，使得以AEMN為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點和N點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求三角形面積首先要知道，其高和底．因為翻轉(zhuǎn)，則DB=DE，BA=EA，觀察圖形，易發(fā)現(xiàn)直角三角形AOE其中兩邊邊長已知，所以可求OE，進(jìn)而可求CE．而此時若設(shè)CD為x，則直角三角形CDE中三邊都可表示出來，那么由勾股定理得方程，解得即可得各邊邊長，從而三角形面積易求．
（2）由（1）可得D點坐標(biāo)，則知三點求過其拋物線解析式用待定系數(shù)法即可．其中因為A，O都為其與x軸的兩交點，所以解析式設(shè)為y=a（x-8）（x-0），計算會簡單很多．
（3）由平行四邊形需要對邊平行且相等，若圖中AE為其中一邊，則另一邊MN必須于AE平行且相等，看圖已知不可能．所以若有平行四邊形，AE只能為對角線，發(fā)現(xiàn)AE與拋物線對稱軸的交點為AE的中點，即亦為平行四邊形ENAM的對角線交點，則平分MN．因為N要在此對稱軸上，所以M為拋物線頂點，進(jìn)而易求N點坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，∵點B的坐標(biāo)為（8，10），
∴BC=OA=8，BA=10，
∵將△ABD沿直線AD翻折，使得點B剛好落在y軸的點E處，
∴EA=BA=10，
∴在Rt△OAE中，OE=

AE2-OA2

=

102-82

=6，
∴CE=OC-OE=4，
在Rt△CDE中，
設(shè)CD=x，則ED=DB=8-x，
∵DE²=CD²+CE²，
∴（8-x）²=x²+4²
解得 x=3，即CD=3，
∴S△CDE=

1

2

CD•CE=6

（2）∵A（8，0），O（0，0）
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-8）（x-0），
∵D（3，10）過拋物線，
∴10=a（3-8）（3-0），
解得 a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

（x-8）（x-0）=-

2

3

x²+

16

3

x．

（3）答：M（4，

32

3

），N（4，-

14

3

）．

點評：本題主要考查了翻折圖形的性質(zhì)、解直角三角形，利用待定系數(shù)法求解拋物線及平行四邊形相關(guān)判斷，是一道非常基礎(chǔ)、常規(guī)的綜合型題目．