Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）則C點(diǎn)坐標(biāo)為

 

，x₁•x₂=

 

；
（2）試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）已知A（-1，0），P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以P為圓心，PC長(zhǎng)為半徑的圓與x軸相切于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令x=0求解即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，令y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系解答即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到

OA

OC

=

OC

OB

，然后根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等求出△AOC和△COB相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACO=∠CBO，然后求出∠ACB=90°，從而得證；
（3）根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)求出點(diǎn)B坐標(biāo)，從而得到OB，過點(diǎn)P作PD⊥OC于D，連接PQ，根據(jù)△CDP∽△COB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出DP=2CD，設(shè)CD=x，表示出DP=2x，利用勾股定理列式求出PC，即PQ，然后根據(jù)OC的長(zhǎng)度列式求出x，再求解即可．

解答：（1）解：令x=0，則y=-2，
∴點(diǎn)C（0，-2），
令y=0，則

1

2

x²+bx-2=0，
整理得，x²+2bx-4=0，
∴x₁•x₂=-4；
故答案為：（0，-2），-4．

（2）證明：∵x₁•x₂=-4，
∴OA•OB=4，
又∵OC=2，
∴OA•OB=OC²，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（3）解：∵A（-1，0），
∴x₂=4，點(diǎn)B（4，0），
∴OB=4，
∵C（0，-2），
∴OC=2，
過點(diǎn)P作PD⊥OC于D，連接PQ，則PD∥OB，
∴△CDP∽△COB，
∴

CD

OC

=

DP

OB

，
即

CD

2

=

DP

4

，
∴DP=2CD，
設(shè)CD=x，則DP=2x，
由勾股定理得，PC=

CD2+DP2

=

x2+(2x)2

=

5

x，
∵⊙P與x軸相切，
∴PQ=OD=PC，
∴x+

5

x=2，
解得x=

2

5 +1

=

5 -1

2

，
∴PD=2x=

5

-1，
∴點(diǎn)Q（

5

-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)OC的長(zhǎng)度列出方程．