【題目】已知:如圖,△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,交BC的延長線于點(diǎn)F.
求證:
(1)AD=BD;
(2)DF是⊙O的切線.
【答案】(1)證法一:連結(jié)CD,
∵BC為⊙O的直徑
∴CD⊥AB
∵AC=BC
∴AD=BD.
證法二:連結(jié)CD,
∵BC為⊙O的直徑
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵AC=BC,CD=CD
∴△ACD≌△BCD
∴AD=BD
(2)證法一:連結(jié)OD,
∵AD=BD,OB=OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切線.
證法二:連結(jié)OD,
∵OB=OD
∴∠BDO=∠B
∵∠B=∠A
∴∠BDO=∠A
∵∠A+∠ADE=90°
∴∠BDO+∠ADE=90°
∴∠ODF=90°
∴DF是⊙O的切線.
【解析】試題分析:(1)由于AC=AB,如果連接CD,那么只要證明出CD⊥AB,根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn),我們就可以得出AD=BD,由于BC是圓的直徑,那么CD⊥AB,由此可證得.
(2)連接OD,再證明OD⊥DE即可.
試題解析:(1)連接CD,
∵BC為⊙O的直徑,
∴CD⊥AB.
∵AC=BC,
∴AD=BD.
(2)連接OD;
∵AD=BD,OB=OC,
∴OD是△BCA的中位線,
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,
∴DF⊥OD.
∵OD為半徑,
∴DF是⊙O的切線.
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