Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D為AC邊上一點(diǎn)，且CD＝2AD＝4，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，連接CF．

求證：點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．

(3)如圖3，在△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)DE的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，若點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，連接CP、PF．

求證：∠PCE＝∠PEC．

Answer 1

【答案】（1）4 ；（2）見解析；（3）見解析；

【解析】分析：(1)求出AC的長(zhǎng)后，根據(jù)直角三角形中的30°角結(jié)合勾股定理求解；(2)判斷△ADF是含30°角的直角三角形，則AD＝2，由勾股定理求AF的長(zhǎng)，結(jié)合AB的長(zhǎng)求證；(3)證點(diǎn)B，C，P，F四點(diǎn)共圓得∠BPC＝60°，證點(diǎn)A，E，C，B四點(diǎn)共圓得∠BEC＝30°.

詳解：(1)∵CD＝2AD＝4，∴AC＝6，

設(shè)BC＝x，則AB＝2x.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2，即(2x)2＝62＋x2.

解得，AB＝.

(2)由題意得：∠DAG＝∠EAF＝60°，∠D＝90°－∠DAE＝60°，

則∠DAB＝90°，

所以DF＝2AD＝4，由勾股定理得AF＝，

∴AF＝AB，即F是AB的中點(diǎn)．

(3)∵點(diǎn)P，點(diǎn)F分別是BD，BA的中點(diǎn)，

∴PF∥AD，∴∠FPB＝∠D＝60°，

由(2)可知，AF＝CF，

∵∠FCA＝∠FAC＝30°，∴∠BCF＝60°，

∴∠FPB＝∠BCF，∴C，B，F，P四點(diǎn)共圓，

∴∠CPB＝∠CFB＝60°，∵∠AEB＝∠ACB＝90°，

∴A，E，C，B四點(diǎn)共圓，∴∠CEP＝∠CAB＝30°，

∴∠ECP＝∠CPB－∠CEP＝30°，

∴∠PCE＝∠PEC．