【題目】如圖,拋物線(xiàn)yax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣10)、C0,3)、B2,3

1)求拋物線(xiàn)的解析式;

2)線(xiàn)段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)Py軸的平行線(xiàn),交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q,求線(xiàn)段PQ的最大值;

3)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M,使△ABM為直角三角形?如果存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);如果不存在,說(shuō)明理由(4個(gè)坐標(biāo)).

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2)當(dāng)x時(shí),線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度最大,最大值為;(3)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M1,﹣2)或(1,4)或(1,)或(1),使ABM為直角三角形

【解析】

1)把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式,利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可;

2)設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為ykx+bk≠0),然后利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)解析式,再表示出PQ,然后利用二次函數(shù)的最值求解即可;

3)求出拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1,然后分①AB是直角邊時(shí),寫(xiě)出以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直線(xiàn)AM的解析式,然后求解即可,再寫(xiě)出以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直線(xiàn)BM的解析式,然后求解即可,②AB是斜邊時(shí),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m),然后利用勾股定理列方程求出m的值,再寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.

解:(1)∵拋物線(xiàn)yax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣10)、C03)、B23),

,解得

所以,拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+2x+3;

2)設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為ykx+bk≠0),

,

,解得

所以,直線(xiàn)AB的解析式為yx+1,

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x

PQy軸,

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x,

PQ=(﹣x2+2x+3)﹣(x+1),

=﹣x2+x+2,

=﹣(x2+,

∵點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上,

∴﹣1≤x≤2,

∴當(dāng)x時(shí),線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度最大,最大值為

3)由(1)可知,拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1,

AB是直角邊時(shí),若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),

設(shè)直線(xiàn)AM的解析式為y=﹣x+c,

將點(diǎn)代入得,

,解得

∴直線(xiàn)AM的解析式為y=﹣x1,

當(dāng)x1時(shí),y=﹣11=﹣2,

此時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,﹣2),

若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),

設(shè)直線(xiàn)BM的解析式為y=﹣x+m,

將點(diǎn)代入得,

,解得

∴直線(xiàn)BM的解析式為y=﹣x+5,

當(dāng)x1時(shí),y=﹣1+54,

此時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,4),

AB是斜邊時(shí),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m),

AM2=(﹣112+m24+m2,BM2=(212+m321+m32

由勾股定理得,AM2+BM2AB2

所以,4+m2+1+m32=(﹣122+032,

整理得,m23m20,

解得m

所以,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,),

綜上所述,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)M1,﹣2)或(1,4)或(1)或(1,),使△ABM為直角三角形.

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