Question

如圖，直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A點，且點A的橫坐標為4，雙曲線y=

k

x

（k＞0）上有一動點C（m，n），（0＜m＜4），過點A作x軸垂線，垂足為B，過點C作x軸垂線，垂足為D，連接OC．
（1）求k的值．
（2）設(shè)△COD與△AOB的重合部分的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式．
（3）連接AC，當?shù)冢?）問中S的值為1時，求△OAC的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）由題意列出關(guān)于k的方程，求出k的值，即可解決問題．
（2）借助函數(shù)解析式，運用字母m表示DE、OD的長度，即可解決問題．
（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面積；求出梯形ABDC的面積，即可解決問題．

解答：解：（1）設(shè)A點的坐標為（4，λ）；
由題意得：

λ= 1 2 ×4 λ= k 4

，解得：k=8，
即k的值=8．
（2）如圖，設(shè)E點的坐標為E（m，n）．
則n=

1

2

m，即DE=

1

2

m；而OD=m，
∴S=

1

2

OD•DE=

1

2

m×

1

2

m=

1

4

m2，
即S關(guān)于m的函數(shù)解析式是S=

1

4

m2．
（3）當S=1時，

1

4

m2=1，解得m=2或-2（舍去），
∵點C在函數(shù)y=

8

x

的圖象上，
∴CD=

8

2

=4；由（1）知：
OB=4，AB=2；BD=4-2=2；
∴S梯形ABDC=

1

2

(4+2)×2=6，
S△AOB=

1

2

×4×2=4，
S△COD=

1

2

×2×4=4；
∴S_△AOC=S_梯形ABDC+S_△COD-S_△AOB
=6+4-4=6．

點評：該題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題；解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，靈活運用方程、函數(shù)等知識來分析、判斷、求解或證明．