【題目】如圖,已知xOy=90°,線段AB=10,若點(diǎn)AOy上滑動(dòng)點(diǎn)B隨著線段AB在射線Ox上滑動(dòng)(A,BO不重合),RtAOB的內(nèi)切圓K分別與OA,OB,AB切于點(diǎn)E,F(xiàn),P.

(1)在上述變化過程中,RtAOB的周長(zhǎng)K的半徑,AOB外接圓半徑,這幾個(gè)量中不會(huì)發(fā)生變化的是什么?并簡(jiǎn)要說明理由.

(2)當(dāng)AE=4時(shí),K的半徑r.

(3)當(dāng)RtAOB的面積為S,AEx,試求Sx之間的函數(shù)關(guān)系并求出S最大時(shí)直角邊OA的長(zhǎng).

【答案】(1)不會(huì)發(fā)生變化的是AOB的外接圓半徑,理由見解析; (2)r=2;(3)S=-x2+10x,OA=5.

【解析】

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì),斜邊上的中線等于斜邊的一半,AB的長(zhǎng)不變,即△AOB的外接圓半徑不變;(2)設(shè)⊙K的半徑為r,連EK、KF,則四邊形EOFK是正方形,根據(jù)切線長(zhǎng)定理,可求得r;
(3)設(shè)AO=b,OB=a,可得出r=,即2(b-x)+10=a+b,再由,則S=-x2+10x.再求得該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo).

(1)不會(huì)發(fā)生變化的是AOB的外接圓半徑.理由如下:

∵∠AOB=90°,

AB是AOB的外接圓的直徑.

AB的長(zhǎng)不變,

∴△AOB的外接圓半徑不變.

(2)設(shè)K的半徑為r,K與RtAOB相切于點(diǎn)E,F,P,連接EK,KF,

∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,

四邊形EOFK是矩形.

∵OE=OF,

四邊形EOFK是正方形,

∴OE=OF=r,

∵☉K是RtAOB的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,P

,∴AE=AP=4,PB=BF=6,

(4+r)2+(6+r)2=100,解得r=-12(不符合題意),r=2.

(3)設(shè)AO=b,OB=a,

∵☉K與RtAOB三邊相切于點(diǎn)E,F,P,

∴OE=r=,即2(b-x)+10=a+b,

∴10-2x=a-b,

∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab.

∵S=ab,

∴ab=2S,

∵a2+b2=102,

∴100-40x+4x2=100-4S,

∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25.

當(dāng)x=5時(shí),S最大,即AE=BF=5,

OA==5.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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②如圖2,在上截取,過點(diǎn)作垂直于直線,垂足為點(diǎn),作,求證:四邊形為正方形;

③如圖2,將②中的已知與結(jié)論互換,即在上取點(diǎn)點(diǎn)在正方形外部),過點(diǎn)作垂直于直線,垂足為點(diǎn),作,若四邊形為正方形,那么是否相等?請(qǐng)說明理由;

2)當(dāng)點(diǎn)在射線上且不過點(diǎn)時(shí),設(shè)交邊,且.在上存在點(diǎn),過點(diǎn)作垂直于直線,垂足為點(diǎn),使得,連接,則當(dāng)為何值時(shí),四邊形的面積最大?最大面積為多少?

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(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)過定點(diǎn)的直線與二次函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn).

①若,求的值;

②證明:無論為何值,恒為直角三角形;

③當(dāng)直線繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),外接圓圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng),直接寫出該拋物線的表達(dá)式.

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