Question

設(shè)a、b是方程x²+2px+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，c、d是方程x²+2qx+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，e、f是方程x²+2（p²-q²）x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)

e+f

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：首先運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系列出有關(guān)a、b、c、d、e、f的7個(gè)等式，然后將所給的代數(shù)式恒等變形，進(jìn)而化簡(jiǎn)求值問(wèn)題即可解決．

解答：解：∵a、b是方程x²+2px+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，c、d是方程x²+2qx+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
e、f是方程x²+2（p²-q²）x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b=-2p，ab=3，c+d=-2q，cd=3
e+f=-2（p²-q²）；（a-c）（b-c）（a+d）（b+d）=（ab+ad-bc-cd）（ab+bd-ac-cd）
=（ad-bc）（bd-ac）=abd²-cda²-cdb²+abc²=3d²-3a²-3b²+3c²
=3（c²+d²）-3（a²+b²）
∵c²+d²=（c+d）²-2cd=4q²-6，a²+b²=（a+b）²-2ab=4p²-6
∴（a-c）（b-c）（a+d）（b+d）=12q²-18-12p²+18=-12（p²-q²）
∴

(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)

e+f

=

-12(p2-q2)

-2(p2-q2)

=6
故所給代數(shù)式的值為6

點(diǎn)評(píng)：考查了根與系數(shù)的關(guān)系，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要基礎(chǔ)知識(shí)之一，是進(jìn)行與根式有關(guān)的代數(shù)式化簡(jiǎn)與求值的基礎(chǔ)和工具；而靈活將所給的代數(shù)式恒等變形又是解題的關(guān)鍵．