Question

如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是梯形，且BC∥AO，其中A（6，0），B（3，

3

），∠AOC=60°，動點P從點O以每秒2個單位的速度向點A運動，動點Q也同時從點B沿B→C→O的線路以每秒1個單位的速度向點O運動，當點P到達A點時，點Q也隨之停止，設點P，Q運動的時間為t（秒）．
（1）求點C的坐標及梯形ABCO的面積；
（2）當點Q在CO邊上運動時，求△OPQ的面積S與運動時間t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）以O，P，Q為頂點的三角形能構成直角三角形嗎？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：計算題,代數(shù)幾何綜合題,探究型

分析：（1）作CM⊥OA于點M，求出CM，根據(jù)勾股定理求出OM，即可求出答案；
（2）作CM⊥OA于點M，BR⊥OA于R，根據(jù)三角形的面積求出即可；
（3）分為三種情況：①當Q在BC上，分為兩種情況，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；②當Q在OC上，分為三種情況，求出每種情況，再進行判斷，最后即可得出答案．

解答：解：（1）作CM⊥OA于點M，
∵∠AOC=60°，
∴∠OCM=30°，
∵B（3，

3

），BC∥AO，
∴CM=

3

，
設OM=x，則OC=2x，
∴(2x)2-x2=(

3

)2，
解得x=1，
∴OM=1，OC=2，
∴C（1，

3

），
∵B（3，

3

），
∴BC=2，
∵A（6，0），
∴OA=6，
∴S梯形ABCO=

1

2

(2+6)×

3

=4

3

；

（2）如圖，作CM⊥OA于點M，BR⊥OA于R，
∵A（6，0），B（3，

3

），C（1，

3

），
∴AR=6-3=3，BC=MR=2，
∵∠CMO=90°，∠OCM=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
當動點Q運動到OC邊時，OQ=4-t，
作QG⊥OP，∴∠OQG=30°，
∴OG=

1

2

OQ=

1

2

(4-t)，
∴QG=

3

2

(4-t)，
又∵OP=2t，
∴S=

1

2

×2t×

3

2

(4-t)=-

3

2

(t2-4t)（2≤t≤3）；

（3）根據(jù)題意得出：0≤t≤3，
當0≤t≤2時，Q在BC邊上運動，延長BC交y軸于點D，
此時OP=2t，OQ2=(

3

)2+(3-t)2，PQ2=(

3

)2+[2t-(3-t)]2，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如圖2，則∠PQD=90°，
∴四邊形PQDO為矩形，
∴OP=QD，
∴2t=3-t，
解得t=1，
若∠OQP=90°，如圖3，
則OQ²+PQ²=PO²，
即(3-t)2+(

3

)2+(3t-3)2+(

3

)2=4t2，
解得：t₁=t₂=2，
當2＜t≤3時，Q在OC邊上運動，
若∠OQP=90°，
∵∠POQ=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴

OQ

OP

=

1

2

，
若∠OPQ=90°，同理：

OP

OQ

=

1

2

，
而此時OP=2t＞4，OQ＜OC=2，
∴

OQ

OP

≠

1

2

，

OP

OQ

≠

1

2

，
故當Q在OC邊上運動時，△OPQ不可能為直角三角形，
綜上所述，當t=1或t=2時，△OPQ為直角三角形．

點評：本題考查了含30°角的直角三角形，勾股定理，梯形的性質，坐標與圖形的性質的應用，主要考查學生的推理和計算能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．