【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=BC=2CD,AB∥CD,∠C=90°,E是BC的中點,AE與BD相交于點F,連接DE.
(1)求證:△ABE≌△BCD;
(2)判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若CD=1,試求△AED的面積.
【答案】(1)見解析;(2)AE=BD,AE⊥BD,理由見解析;(3)△AED的面積為.
【解析】
(1)由已知條件可推導(dǎo)得到,由SAS即可證明△ABE≌△BCD;
(2)由(1)可得△ABE≌△BCD 可得AE=BD,再由角的轉(zhuǎn)化可得∠AFB=90°,即可證明AE⊥BD;
(3)因為 △AED的面積=梯形ABCD的面積﹣△ABE的面積﹣△CDE的面積,即可求解△AED的面積.
(1)證明:∵AB∥CD,
∴∠ABE+∠C=180°,
∵∠C=90°,
∴∠ABE=90°=∠C,
∵E是BC的中點,
∴BC=2BE,
∵BC=2CD,
∴BE=CD,
在△ABE和△BCD中,,
∴△ABE≌△BCD(SAS);
(2)解:AE=BD,AE⊥BD,理由如下:
由(1)得:△ABE≌△BCD,
∴AE=BD,
∵∠BAE=∠CBD,∠ABF+∠CBD=90°,
∴∠ABF+∠BAE=90°,
∴∠AFB=90°,
∴AE⊥BD;
(3)解:∵△ABE≌△BCD,
∴BE=CD=1,
∵AB=BC=2CD=2,
∴CE=BC﹣BE=1,
∴CE=CD,
∴△AED的面積=梯形ABCD的面積﹣△ABE的面積﹣△CDE的面積=(1+2)×2﹣×2×1﹣×1×1=
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某沿海城市A接到臺風(fēng)警報,在該城市正南方向260 km的B處有一臺風(fēng)中心,沿BC方向以15 km/h的速度向C移動,已知城市A到BC的距離AD=100 km,那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移動到D點?如果在距臺風(fēng)中心30 km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺風(fēng)的影響,正在D點休息的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可以免受臺風(fēng)的影響?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,AC是對角線,今有較大的直角三角板,一邊始終經(jīng)過點B,直角頂點P在射線AC上移動,另一邊交DC于點Q.
(1)如圖①,當(dāng)點Q在DC邊上時,猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(2)如圖②,當(dāng)點Q落在DC的延長線上時,猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2﹣4x+c的圖象經(jīng)過坐標原點,與x軸交于點A(﹣4,0)
(1)求此二次函數(shù)的解析式,并求出拋物線的頂點坐標;
(2)在拋物線上存在點P,使△AOP的面積為10?求出點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校有名學(xué)生,為了解全校學(xué)生的上學(xué)方式,該校數(shù)學(xué)興趣小組在全校隨機抽取了名學(xué)生進行抽樣調(diào)查,整理樣本數(shù)據(jù),得到下列圖表(頻數(shù)分布表中部分劃記被污染漬蓋。
(1) ;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中,乘私家車部分對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)請估計該校名學(xué)生中,選擇騎車和步行上學(xué)的一共有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系中,,分別在軸正半軸和軸負半軸上,在第二象限,滿足:,.已知.
(1)求,的坐標;
(2)求點的坐標及的面積;
(3)已知是軸的正半軸上一點,,在第一象限,,,連接交軸于點.
①求證:.
②在點的移動過程中,給出以下兩個結(jié)論:(i)的值不變;(ii)的值不變,其中有且只有一個是正確的,請你找出這個結(jié)論并求其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,有一過點C的動圓⊙O與斜邊AB相切于動點P,連接CP.
(1)當(dāng)⊙O與直角邊AC相切時,如圖2所示,求此時⊙O的半徑r的長;
(2)隨著切點P的位置不同,弦CP的長也會發(fā)生變化,試求出弦CP的長的取值范圍.
(3)當(dāng)切點P在何處時,⊙O的半徑r有最大值?試求出這個最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】本學(xué)期實驗中學(xué)組織開展課外興趣活動,各活動小班根據(jù)實際情況確定了計劃組班人數(shù),并發(fā)動學(xué)生自愿報名,報名人數(shù)與計劃人數(shù)的前5位情況如下:
若用同一小班的計劃人數(shù)與報名人數(shù)的比值大小來衡量進入該班的難易程度,學(xué)生中對于進入各活動小班的難易有以下預(yù)測:①籃球和航模都能進;②舞蹈比寫作容易;③寫作比奧數(shù)容易;④舞蹈比奧數(shù)容易.則預(yù)測正確的有___________(填序號即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=CB,∠BAC=∠BCA,∠ABC=90°,F為AB延長線上一點,點E在BC上,且AE=CF.
(1)求證:Rt△ABE≌ Rt△CBF;
(2)求證:AE⊥CF;
(3)若∠CAE=30°,求∠ACF度數(shù).
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