Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M（m，0）為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，可得矩形PQNM．如圖，點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長(zhǎng)；

（3）當(dāng)矩形PQNM的周長(zhǎng)最大時(shí)，m的值是多少？并求出此時(shí)的△AEM的面積。

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）矩形PMNQ的周長(zhǎng)=﹣2m2﹣8m+2；（3）m=﹣2，S=.

【解析】

試題（1）利用函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）先確定出拋物線對(duì)稱(chēng)軸，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的結(jié)論判斷出矩形周長(zhǎng)最大時(shí)，確定出m，進(jìn)而求出直線AC解析式，即可；

試題解析：（1）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．

令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，

解得，x=﹣3或x=l，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1．

∵M（m，0），

∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2．

（3）∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10，

∴矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，m=﹣2．

∵A(﹣3，0)，C(0，3)，設(shè)直線AC的解析式y=kx+b，

∴，解得k=l，b=3，

∴解析式y=x+3，令x=﹣2，則y=1，

∴E(﹣2，1)，

∴EM=1，AM=1，

∴S=AM×EM=.