Question

如圖，P為正方形ABCD的對(duì)稱中心，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，tan∠ABO=3．直線OP交AB于N，DC于M，點(diǎn)H從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
求：（1）分別寫出A、C、D、P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ANO與△DMR相似？
（3）△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)t的值及S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)即可求得OA，OB的長(zhǎng)，即可得到A則坐標(biāo)，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得D，P的坐標(biāo)；
（2）分∠MDR=45°和∠DRM=45°兩種情況求得t的值；
（3）分0＜t≤4和t＞4兩種情況求得函數(shù)解析式，然后分當(dāng)CR∥AB時(shí)，當(dāng)AR∥BC時(shí)，當(dāng)BR∥AC三種情況求得t的值，進(jìn)而求得函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）A（0，3）C（4，1），D（3，4），P（2，2）
（2）過點(diǎn)N作NE⊥AO，于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥MS于點(diǎn)F，MS⊥x軸于點(diǎn)S，
由（1）可得：B（1，0），
∴直線AB的解析式為：y=-3x+3①；
直線OP的解析式為：y=x②，
①②聯(lián)立得，
∴N（，），
直線CD的解析式是：y=-3x+13，
解方程組：，解得：．
則M的坐標(biāo)是：（，），
∴ON=，OM=，
∵AD²+DM²=AF²+MF²，
10+MD²=（）²+（）²，
∴DM=，
AN==．
當(dāng)∠MDR=45°時(shí)，
∵∠AON=45°，
∴∠MDR=∠AON，
∵AN∥DM，
∴∠ANO=∠DMP，
∴△ANO與△DMR相似，則△ANO∽△RMD，
∴，即=，
解得：MR=，
則OR=OM-MR=2．
∴t=2，
同理可得：當(dāng)∠DRM=45°時(shí)，t=3，△ANO與△DMR相似，
綜上可知：t=2或3時(shí)當(dāng)△ANO與△DMR相似；
（3）①∵R速度為，H速度為1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始終垂直于x軸，
∴RH=OH=t，
設(shè)△HCR的邊RH的高為h，
∴h=|4-t|．
∴S_△HCR=h•t2=|-t²+4t|，
∴S=-t²+2t（0＜t＜4）；S=t²-2t（t＞4）；
②以A、B、C、R為頂點(diǎn)的梯形，有兩種可能：
1．頂邊和底邊分別為BC、AR，此時(shí)BC∥AR．
延長(zhǎng)AD，使其與OM相交于點(diǎn)R，
∴AD的斜率=tan∠BAO=，
∴直線AD為：y=+3．
∴R坐標(biāo)為（4.5，4.5），
∴此時(shí)四邊形ABCR為梯形為梯形，
∴t=4.5
2．頂邊、底邊分別為CR、AB，此時(shí)CR∥AB，且R與M重合．
∴CD的斜率=-3，且直線CD過點(diǎn)C，
∴直線CD為：y-1=-3•（x-4），
∴y=-3x+13，
∵OM與CD交于點(diǎn)M（即R），
∴M為（，），
∴此時(shí)四邊形ABCR為梯形，
∴t=，
∴當(dāng)CR∥AB時(shí)，t=，S=，
當(dāng)AR∥BC時(shí)，t=，S=，
當(dāng)BR∥AC時(shí)，t=，S=．
（3）①分兩種情況：
一、0＜t≤4，H在E點(diǎn)左側(cè)；
易知RH=t，HE=4-t，故S=RH•HE=t（4-t）=-t²+2t；
二、t＞4，H在E點(diǎn)右側(cè)；
易知RH=t，HE=t-4，故S=RH•HE=t（t-4）=t²-2t；
②若以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，分三種情況：
一、CR∥AB；此時(shí)R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直線CD：y=-3x+13；
當(dāng)x=y時(shí)，-3x+13=x，解得x=；
即M（即R）點(diǎn)橫坐標(biāo)為，H（，0）；
故t=，代入S=-t²+2t（0＜t≤4）可得S=；
同理可求得：
二、AR∥BC時(shí)，t=，S=；
三、BR∥AC時(shí)，t=，S=；
綜合①②可得：
S=-t²+2t（0＜t≤4）；（1分）
S=t²-2t（t＞4）．（1分）
當(dāng)CR∥AB時(shí)，t=，（1分）
S_最大=；（1分）
當(dāng)AR∥BC時(shí)，t=，S_最大=；（1分）
當(dāng)BR∥AC時(shí)，t=，S_最大=．（1分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．