Question

【題目】如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，）、D（0，），射線l過(guò)點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是l和x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)，滿足∠PQO=60°．

（1）①點(diǎn)B的坐標(biāo)是　　 ；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　 ；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（6，），②（3，）；（2）

【解析】

（1）①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)，③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）分別從當(dāng)0≤x≤3時(shí)，當(dāng)3＜x≤5時(shí)，當(dāng)5＜x≤9時(shí)，當(dāng)x＞9時(shí)去分析求解即可求得答案．

解：（1）①∵四邊形OABC是矩形，

∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，2），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，2）；

②如圖1：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），

∴PE=3，

∴AE=，

∴OE=OA-AE=6-3=3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）；

故答案為：①（6，2），②（3，3）；

（2）①當(dāng)0≤x≤3時(shí)，

如圖，OI=x，IQ=PItan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由題意可知直線l∥BC∥OA，

∴，

∴EF=

此時(shí)重疊部分是梯形，其面積為：

S梯形=（EF+OQ）OC=（3+x）

∴．

當(dāng)3＜x≤5時(shí)，如圖

AQ=OIIOOA=x36=x3

AH=(x3)

S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AHAQ=（3+x）﹣

∴．

③當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如圖

∵CE∥DP

∴

∴

∴

S=（BE+OA）OC=（12﹣）

∴．

④當(dāng)x＞9時(shí)，如圖

∵AH∥PI

∴

∴

∴

S=OAAH=．

綜上：．