Question

如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，連結(jié)PA、PB、PC，將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置．若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求線段PC的長．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：連結(jié)PP′，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ABC=90°，BA=BC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BP′=BP=4，P′C=PA=2，∠P′BP=∠ABC=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，原式可判斷△BPP′為等腰直角三角形，所以PP′=

2

PB=4

2

，∠1=45°，同時可計算出∠2=∠BP′C-∠1=90°，然后在Rt△CPP′中利用勾股定理計算PC即可．

解答：解：連結(jié)PP′，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=90°，BA=BC，
∵△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置，
∴BP′=BP=4，P′C=PA=2，∠P′BP=∠ABC=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，
∴△BPP′為等腰直角三角形，
∴PP′=

2

PB=4

2

，∠1=45°，
∴∠2=∠BP′C-∠1=135°-45°=90°，
∴△CPP′為直角三角形，
∴PC=

PP′2+CP′2

=

(4 2 )2+22

=6．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．