Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點(diǎn)，AB=13，AC=5．

（1）如圖（1），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長；

（2）如圖（2），若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求PA的長．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）根據(jù)圓周角的定理，∠APB=90°，P是弧AB的中點(diǎn)，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．

（2）根據(jù)垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得NP的長，進(jìn)而求得PA．

【解答】解：（1）如圖（1）所示，連接PB，

∵AB是⊙O的直徑且P是的中點(diǎn)，

∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，

又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，

∴PA===．

（2）如圖（2）所示：連接BC．OP相交于M點(diǎn)，作PN⊥AB于點(diǎn)N，

∵P點(diǎn)為弧BC的中點(diǎn)，

∴OP⊥BC，∠OMB=90°，

又因?yàn)锳B為直徑

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠OMB，

∴OP∥AC，

∴∠CAB=∠POB，

又因?yàn)椤螦CB=∠ONP=90°，

∴△ACB∽△0NP

∴=，

又∵AB=13 AC=5 OP=，

代入得 ON=，

∴AN=OA+ON=9

∴在Rt△OPN中，有NP²=0P²﹣ON²=36

在Rt△ANP中 有PA===3

∴PA=3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．