Question

如圖所示，已知AB⊥BC，BD⊥CD，AC=a，BC=b．試猜想BD與a，b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)這兩個(gè)三角形相似？并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：常規(guī)題型

分析：由AB⊥BC，BD⊥CD得到∠ABC=∠BDC=90°，再利用勾股定理計(jì)算出AB=

a2-b2

，根據(jù)直角三角形相似的判定方法，當(dāng)

AB

BD

=

AC

BC

，Rt△ABC∽R(shí)t△BDC；當(dāng)

BC

BD

=

AC

BC

，Rt△ABC∽R(shí)t△CDB，然后分別利用比例性質(zhì)可表示出BD與a和b的關(guān)系．

解答：解：當(dāng)BD=

b a2-b2

a

或BD=

b2

a

時(shí)，兩個(gè)三角形相似．理由如下：
∵AB⊥BC，BD⊥CD，
∴∠ABC=∠BDC=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=a，BC=b，
∴AB=

a2-b2

，
當(dāng)

AB

BD

=

AC

BC

，即

a2-b2

BD

=

a

b

，Rt△ABC∽R(shí)t△BDC，所以BD=

b a2-b2

a

；
當(dāng)

BC

BD

=

AC

BC

，即

b

BD

=

a

b

，Rt△ABC∽R(shí)t△CDB，所以BD=

b2

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)直角三角形相似．