Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣，﹣）；（3）存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，P的坐標(biāo)為（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．

【解析】

（1）把A，B，C的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a，b，c的值即可；

（2）由題意得到直線BC與直線AM垂直，求出直線BC解析式，確定出直線AM中k的值，利用待定系數(shù)法求出直線AM解析式，聯(lián)立求出M坐標(biāo)即可；

（3）存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P的坐標(biāo)即可．

（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入拋物線解析式得：，

解得：，

則該拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）設(shè)直線BC解析式為y=kx﹣3，

把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，

∴直線BC解析式為y=﹣3x﹣3，

∴直線AM解析式為y=x+m，

把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，

∴直線AM解析式為y=x﹣1，

聯(lián)立得：，

解得：，

則M（﹣，﹣）；

（3）存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

分兩種情況考慮：

設(shè)Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），

當(dāng)四邊形BCQP為平行四邊形時(shí)，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），

根據(jù)平移規(guī)律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，

解得：m=1±，x=2±，

當(dāng)m=1+時(shí)，m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3，即P（1+，3）；

當(dāng)m=1﹣時(shí)，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3，即P（1﹣，3）；

當(dāng)四邊形BCPQ為平行四邊形時(shí)，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），

根據(jù)平移規(guī)律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，

解得：m=0或2，

當(dāng)m=0時(shí)，P（0，﹣3）（舍去）；當(dāng)m=2時(shí)，P（2，﹣3），

綜上，存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，P的坐標(biāo)為（1+，3）或（1﹣，3）或（2，﹣3）．