Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）求證：4DE2＝CDAC．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）如圖，作輔助線；根據(jù)題意結(jié)合圖形，證明∠ODE＝90°，即可解決問(wèn)題；

（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝∠BDC＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC＝2DE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）證明：連接OD、BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠CDB＝90°；

又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

∴BE＝DE，

∴∠BDE＝∠EBD；

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA；

又∵∠OAD+∠OBD＝90°，∠EBD+∠OBD＝90°，

∴∠OAD＝∠EBD，即∠ODA＝∠BDE；

∴∠ODE＝∠BDE+∠ODB＝∠ODA+∠ODB＝90°，

又∵點(diǎn)D在⊙O上，

∴DE是圓⊙O的切線；

（2）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

∴BC＝2DE，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABC＝∠BDC，

∵∠C＝∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴ ，

∴BC2＝CDAC，

∴4DE2＝CDAC．