Question

（2012•長春）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm．D、E分別為邊AB、BC的中點，連接DE．點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DE-EB運動，到點B停止．點P在線段AD上以

5

cm/s的速度運動，在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動．當點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點M在線段AQ上．設點P的運動時間為t（s）．
（1）當點P在線段DE上運動時，線段DP的長為

（t-2）

cm（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當點N落在AB邊上時，求t的值．
（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，設五邊形的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關系式．
（4）連接CD，當點N與點D重合時，有一點H從點M出發(fā)，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M連續(xù)做往返運動，直至點P與點E重合時，點H停止往返運動；當點P在線段EB上運動時，點H始終在線段MN的中點處，直接寫出在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）點P在AD段的運動時間為2s，則DP的長度為（t-2）cm；
（2）當點N落在AB邊上時，有兩種情況，如圖（2）所示．利用運動線段之間的數(shù)量關系求出時間t的值；
（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況，分別用時間t表示各相關運動線段的長度，如圖（3）a利用“S=S_梯形AQPD-S_△AMF=

1

2

（PD+AQ）•PQ-

1

2

AM•FM”求出面積S的表達式；如圖（3）b利用“S=S_梯形AQPG-S_△AMF=

1

2

（PG+AC）•PC-

1

2

AM•FM”求出面積S的表達式；
（4）本問涉及雙點的運動，首先需要正確理解題意，然后弄清點H、點P的運動過程：
當4＜t＜6時，此時點P在線段DE上運動，如圖（4）a所示．此時點H將兩次落在線段CD上；
當6≤t≤8時，此時點P在線段EB上運動，如圖（4）b所示．此時MN與CD的交點始終是線段MN的中點，即點H．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
D為AB中點，∴AD=2

5

，
∴點P在AD段的運動時間為

2 5

5

=2s．
當點P在線段DE上運動時，DP段的運動時間為（t-2）s，
∵DE段運動速度為1cm/s，∴DP=（t-2）cm．

（2）當點N落在AB邊上時，有兩種情況，如下圖所示：

①如圖（2）a，此時點D與點N重合，P位于線段DE上．
由三角形中位線定理可知，DM=

1

2

BC=2，∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；
②如圖（2）b，此時點P位于線段EB上．
∵DE=

1

2

AC=4，∴點P在DE段的運動時間為4s，
∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=

20

3

．
所以，當點N落在AB邊上時，t=4或t=

20

3

．

（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況，如下圖所示：

①當2＜t＜4時，如圖（3）a所示．
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．
∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=

1

2

AM=

1

2

t．
S=S_梯形AQPD-S_△AMF=

1

2

（DP+AQ）•PQ-

1

2

AM•FM=

1

2

[（t-2）+（2+t）]×2-

1

2

t•

1

2

t=-

1

4

t²+2t；
②當

20

3

＜t＜8時，如圖（3）b所示．
PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=

1

2

AM=6-

1

2

t，PG=2PB=16-2t，
S=S_梯形AQPG-S_△AMF=

1

2

（PG+AC）•PC-

1

2

AM•FM=

1

2

[（16-2t）+8]×（t-4）-

1

2

（12-t）•（6-

1

2

t）=-

5

4

t²+22t-84．
綜上所述，S與t的關系式為：S=

- 1 4 t2+2t(2＜t＜4) - 5 4 t2+22t-84( 20 3 ＜t＜8)

（4）依題意，點H與點P的運動分為兩個階段，如下圖所示：

①當4＜t≤6時，此時點P在線段DE上運動，如圖（4）a所示．
此階段點P運動時間為2s，因此點H運動距離為2.5×2=5cm，而MN=2，
則此階段中，點H將有3次機會落在線段CD上：
第一次：此時點H由M→H運動時間為（t-4）s，運動距離MH=2.5（t-4）cm，∴NH=2-MH=12-2.5t；
又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由DN=2NH得到：t-4=2（12-2.5t），解得t=

14

3

；
第二次：此時點H由N→H運動時間為t-4-

2

2.5

=（t-4.8）s，運動距離NH=2.5（t-4.8）=2.5t-12；
又DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由DN=2NH得到：t-4=2（2.5t-12），解得t=5；
②當6≤t≤8時，此時點P在線段EB上運動，如圖（4）b所示．
由圖可知，在此階段，始終有MH=

1

2

MC，即MN與CD的交點始終為線段MN的中點，即點H．
綜上所述，在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍是：t=

14

3

或t=5或6≤t≤8．

點評：本題是運動型綜合題，涉及到動點型（兩個動點）和動線型，運動過程復雜，難度頗大，對同學們的解題能力要求很高．讀懂題意，弄清動點與動線的運動過程，是解題的要點．注意第（2）、（3）、（4）問中，分別涉及多種情況，需要進行分類討論，避免因漏解而失分．