Question

【題目】如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．

（1）當點E在BD上時，求證：AF∥BD；

（2）當GC＝GB時，求θ；

（3）當AB＝10，BG＝BC＝13時，求點G到直線CD的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°或300°；（3）25或1

【解析】

（1）先運用SAS判定△FEA≌△DAB，可得∠AFE＝∠ADE＝∠DEF，即可得出AF∥BD；

（2）當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)∠DAG＝60°，即可得到旋轉(zhuǎn)角θ的度數(shù)．

（3）當BG＝BC時存在兩種情況：畫圖根據(jù)勾股定理計算即可．

（1）由旋轉(zhuǎn)可得，AE＝AB，∠AEF＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，

∴∠AEB＝∠ABE，△FEA≌△DAB（SAS），

∴∠AFE＝∠ADB，

又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，

∴∠EDA＝∠DEF，

∴∠DEF＝∠AFE，

∴AF∥BD；

（2）如圖1，當GB＝GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論：

①當點G在AD右側(cè)時，取BC的中點H，連接GH交AD于M，連接DG，

∵GC＝GB，

∴GH⊥BC，

∴四邊形ABHM是矩形，

∴AM＝BH＝AD＝AG，

∴GM垂直平分AD，

∴GD＝GA＝DA，

∴△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG＝60°，

∴旋轉(zhuǎn)角θ＝60°；

②當點G在AD左側(cè)時，如圖2，同理可得△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG＝60°，

∴旋轉(zhuǎn)角θ＝360°﹣60°＝300°．

綜上，θ的度數(shù)為60°或300°；

（3）有兩種情況：

①如圖3，當BG＝BC＝13時，過G作GH⊥CD于H，交AB于M，

∵AG＝BC＝BG，

∴AM＝BM＝5，

Rt△AMG中，由勾股定理得：MG＝＝＝12，

∵AB∥CD，

∴MH＝BC＝13，

∴GH＝13+12＝25，即點G到直線CD的距離是25；

②如圖4，過G作MH⊥CD于H，交AB于M，

同理得GM＝12，

∴GH＝13﹣12＝1，即點G到直線CD的距離是1；

綜上，即點G到直線CD的距離是25或1．