Question

【題目】拋物線C1：y=a（x+1）（x﹣3a）（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）
（1）求拋物線C1的解析式及A，B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將拋物線C1向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C2 ， 若拋物線C2的頂點(diǎn)在△ABC內(nèi)，求n的取值范圍． （在所給坐標(biāo)系中畫出草圖C1）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線C1：y=a（x+1）（x﹣3a）y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣3a），

解得a=1（舍去負(fù)值）．

∴拋物線C1的解析式為：y=（x+1）（x﹣3）．

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）解：∵y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4，

∴該拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，則該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）

（3）解：將（1）中求得的拋物線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

再向左平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y=（x﹣1+n）2﹣1，

∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1﹣n，﹣1），

∴﹣ ＜1﹣n＜2，

解得﹣1＜n＜ ，

∵n＞0，

∴0＜n＜ ．

【解析】（1）根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的函數(shù)的解析式即可利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；（2）由（1）中的函數(shù)解析式即可求出拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）首先根據(jù)平移確定平移后的函數(shù)的解析式，然后確定拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；結(jié)合圖形確定n的取值范圍即可．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)圖象的平移和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．