如圖,AB,AC分別是半⊙O的直徑和弦,OD⊥AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作半⊙O的切線AP,AP與OD的延長線交于點(diǎn)P.連接PC并延長與AB的延長線交于點(diǎn)F.
(1)求證:PC是半⊙O的切線;
(2)若∠CAB=30°,AB=10,求線段BF的長.
考點(diǎn):切線的判定與性質(zhì),解直角三角形
專題:幾何綜合題,壓軸題
分析:(1)連接OC,可以證得△OAP≌△OCP,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,以及切線的性質(zhì)定理可以得到:∠OCP=90°,即OC⊥PC,即可證得;
(2)依據(jù)切線的性質(zhì)定理可知OC⊥PE,然后通過解直角三角函數(shù),求得OF的值,再減去圓的半徑即可.
解答:(1)證明:連接OC,
∵OD⊥AC,OD經(jīng)過圓心O,
∴AD=CD,
∴PA=PC,
在△OAP和△OCP中,
OA=OC 
PA=PC
OP=OP
,
∴△OAP≌△OCP(SSS),
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切線,
∴∠OAP=90°.
∴∠OCP=90°,
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切線.

(2)解:∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=30°,
∴∠COF=60°,
∵PC是⊙O的切線,AB=10,
∴OC⊥PF,OC=OB=
1
2
AB=5,
∴OF=
OC
cos∠COF
=
5
cos60°
=10,
∴BF=OF-OB=5.
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的性質(zhì)定理以及判定定理,以及直角三角形三角函數(shù)的應(yīng)用,證明圓的切線的問題常用的思路是根據(jù)切線的判定定理轉(zhuǎn)化成證明垂直的問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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圖中表示的不等式的解集是
 

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拋物線y=2(x-3)2+4的對(duì)稱軸是(  )
A、直線x=-3
B、直線x=4
C、直線x=3
D、直線x=2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法正確的是(  )
A、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0
B、方程x2=x的解是x=1
C、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 的根是x=
-b±
b2-4ac
2a
D、方程x(x+2)(x-3)=0的實(shí)數(shù)根有三個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上,∠AOB=90°,OM是∠AOB的角平分線
(1)若直角邊分別與射線OA、OB交于點(diǎn)C、D,
①求證:PC=PD;
②連接CD,交OP于點(diǎn)G,且CG:DG=1:2,OD=1,試求OP的長.
(2)若點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng),一直角邊與射線OB交于點(diǎn)D,OD=1,另一直角邊與直線OA、直線OB分別交于點(diǎn)C、E,使以點(diǎn)P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似,請(qǐng)直接寫出OP的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某學(xué)習(xí)小組由3名男生和1名女生組成,在一次合作學(xué)習(xí)后,開始進(jìn)行成果展示.
(1)如果隨機(jī)抽取1名同學(xué)單獨(dú)展示,那么女生展示的概率為
 

(2)如果隨機(jī)抽取2名同學(xué)共同展示,求同為男生的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算:
9
+|-4|+(-1)0-(
1
2
-1

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直線L:y=-x+3與兩坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B.
(1)當(dāng)反比例函數(shù)y=
m
x
(m>0,x>0)的圖象在第一象限內(nèi)與直線L至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),求m的取值范圍.
(2)若反比例函數(shù)y=
m
x
(m>0,x>0)在第一象限內(nèi)與直線L相交于點(diǎn)C、D,當(dāng)CD=2
2
時(shí),求m的值.
(3)在(2)的條件下,請(qǐng)你直接寫出關(guān)于x的不等式-x+3<
m
x
的解集.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=-
3
4
x+b(b為常數(shù),b>0)的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C,與y軸相交于點(diǎn)D、E,點(diǎn)D在點(diǎn)E上方.

(1)若直線AB與
CD
有兩個(gè)交點(diǎn)F、G.
①求∠CFE的度數(shù);
②用含b的代數(shù)式表示FG2,并直接寫出b的取值范圍;
(2)設(shè)b≥5,在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使∠CPE=45°?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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